Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела ммо - задания по годам
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#96958

На сторонах AD  и CD  параллелограмма ABCD  с центром O  отмечены такие точки P  и Q  соответственно, что ∠AOP  =∠COQ  =∠ABC.

(a) Докажите, что ∠ABP  =∠CBQ.

(b) Докажите, что прямые AQ  и CP  пересекаются на описанной окружности треугольника ABC.

Источники: ММО - 2014, первый день, 11.3(см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1, пункт а

Хороший способ доказать равенство углов - найти подобные треугольники, в которых эти углы друг другу соответствуют.

Подсказка 2, пункт а

Поищите на рисунке вписанные четырëхугольники.

Подсказка 1, пункт б

На этот раз нужно просто аккуратно посчитать углы. Ясно, что стоит рассмотреть сумму углов ABC и ARC (R - пересечение AQ и CP) и, исходя из имеющихся данных, показать, что она равна 180°.

Показать доказательство

PIC

(a) 

∠CDA + ∠POC = ∠ABC + ∠POC = ∠AOP + ∠POC = 180∘

поэтому точки P,O,C  и D  лежат на одной окружности. Аналогично точки Q,O,A  и D  лежат на одной окружности. Значит,

CQ ⋅CD =CO ⋅CA = AO⋅AC = AP ⋅AD

то есть AP- CD-  BA-
CQ = AD = BC .  Следовательно, треугольники BAP  и BCQ  подобны, откуда ∠ABP = ∠CBQ.

(b) 

∠OAQ  =∠ODQ

как вписанные, опирающиеся на одну дугу. Аналогично ∠OCP = ∠ODP.  Пусть R  — точка пересечения AQ  и CP  . Тогда

∠ABC + ∠ARC = ∠ADC + ∠ARC =

= ∠ODP + ∠ODQ + ∠ARC = ∠OCP + ∠OAQ + ∠ARC = 180∘

Следовательно, точки A,B,C  и R  лежат на одной окружности.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!