ММО 2013
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
— центр вписанной окружности неравнобедренного треугольника 
Через 
обозначим середину дуги 
описанной окружности треугольника 
не содержащей точки 
а через 
— середину дуги 
Перпендикуляр,
опущенный из точки 
на прямую 
пересекает прямую 
в точке 
Аналогично определяются точки 
и
(a) Докажите, что точки 
и 
лежат на одной прямой.
(b) Докажите, что эта прямая перпендикулярна прямой 
где 
— центр описанной окружности треугольника
Источники:
Подсказка 1
Для начала хотелось бы красиво нарисовать чертеж по условию, поэтому имеет смысл подумать, где находится основание X перпендикуляра из A₁ на A₂I. Хочется точку A' определить как-то удобнее и изящнее...
Подсказка 2
Т.к. X лежит на описанной окружности ABC, то A₁X - это хорда, на продолжении которой лежит точка A'. Значит, можно попробовать определить A' как радикальный центр трех окружностей, одна из которых - ABC. А какие остальные?
Подсказка 3
BIC и XIA₁. А как связаны эти окружности? Если возвращаться к требуемому в задаче, то становится ясно, что хочется найти радикальную ось, на которой будут лежать точки A', B', C'. Какая окружность у нас не меняется в рассуждениях при определении точек B' и C'?
Подсказка 4
Окружность ABC. Осталось лишь найти еще одну окружность, чтобы A', B' и C' лежали на радикальной оси ее и ABC. Помним, что A'I² = A'B * A'C!
Обозначим точку пересечения прямой 
с прямой 
через 
а описанную окружность 
через 
По условию
Так как 
— диаметр 
точка 
лежит на 
Рассмотрим теперь описанные окружности треугольников 
и 
Радикальная ось первой и второй окружностей есть
прямая 
а первой и третьей 
(это прямые, содержащие общие хорды этих окружностей). Значит, радикальным центром всех
этих трех окружностей является точка 
Заметим, что
Следовательно, 
То есть точка 
является центром описанной окружности треугольника 
Так
как угол 
прямой, то 
— диаметр описанной окружности треугольника 
Следовательно, описанные
окружности треугольников 
и 
касаются в точке 
Значит, касательная к этим окружностям, проведенная
в точке 
проходит через 
Причем по свойству степени точки 
относительно описанной окружности 
верно
Рассмотрим 
и точку 
как вырожденную в точку окружность. Из последнего равенства следует, что точка 
лежит на
радикальной оси этих двух окружностей. По аналогичным причинам на этой радикальной оси лежат и точки 
и 
Так как
радикальная ось двух окружностей — прямая, то все эти три точки лежат на одной прямой, перпендикулярной линии центров этих
окружностей, то есть прямой 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
