ММО 2013
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан такой выпуклый четырёхугольник 
, что 
и 
Точки 
и 
– середины отрезков 
и 
соответственно. Перпендикуляр, проведённый из точки 
к прямой 
, пересекается с перпендикуляром, проведённым из точки 
к
прямой 
, в точке 
Докажите, что прямые 
и 
перпендикулярны.
Источники:
Подсказка 1
В задаче у нас очень много перпендикулярных прямых. Ещё заметим, что фигура у нас получается дельтоид, так как ABD и BCD симметричные треугольники относительно BD(это пригодится в дальнейшем). Как в первую очередь можно сформулировать вопрос задачи на языке векторов?
Подсказка 2
Верно, перпендикулярность двух отрезков означает, что их произведение через векторы равно нулю. Теперь нужно ввести удобные обозначения. Раз нам по условию дали перпендикулярные отрезки BC, AH и HC, AD, то их и будет удобно обозначить a, c и d, b. Как теперь можно выразить наши отрезки в вопросе задачи через эти?
Подсказка 3
Верно, эти удвоенные вектора будут равны c+d и a+b, так как HM это медиана, а KL средняя линия четырёхугольника. То есть нам нужно, чтобы (c+d)(a+b)=0. Попробуйте теперь выразить удобным способом не сумму этих векторов, а разность. Что хорошего там получается?
Подсказка 4
Ага, хорошо получается, что и произведение (a-b)(d-c)=0. Теперь осталось только вспомнить, что произведение a, c и b, d по условию равно нулю. Это помогает окончательно решить задачу. Победа!
Обозначим вектор 
через 
, вектор 
через 
, вектор 
через 
и вектор 
через 
(рис). Заметим,
что
Отсюда получаем, что 
Заметим также, что
Следовательно, прямые 
и 
перпендикулярны тогда и только тогда, когда
Так как по условию 
и 
, то прямая 
серединный перпендикуляр к отрезку 
Следовательно, точка 
лежит на прямой 
и 
Рассмотрим вектор
Таким образом,
Поскольку по условию 
и 
, то 
и 
. Следовательно,
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
