Тема ММО - задания по годам

ММО 2011

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ммо - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#92992

Что больше: $20112011+ 20092009$ или $20112009 +20092011?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Неравенства a > b и a - b > 0 эквивалентны. Попробуем вместо сравнения исходных чисел сравнить их разность с нулем. Как можно преобразовать разность, чтобы было удобно ее оценивать?

Подсказка 2

Конечно! Перегруппируем слагаемые так, чтобы получилась разность двух скобок, внутри каждой у степеней одинаковое основание, а затем вынесем общий множитель. Как теперь сравнить числа?

Подсказка 3

Верно! Используем, что 2011 > 2009 и докажем, что в разности какое-то из чисел больше.

Показать ответ и решение

Запишем разность двух чисел, которые хотим сравнить, и преобразуем её:

2011 2009 2011 2009 2011 + 2009 − (2009 + 2011 )=

2011 2009 2011 2009 = 2011 − 2011 − (2009 − 2009 )=

= 20112009(20112− 1)− 20092009(20092− 1)

Заметим, что $20112009 > 20092009 >0$ и $20112− 1 >20092− 1 >0.$ Следовательно, уменьшаемое больше вычитаемого, то есть разность положительна. Значит, первое число больше, будет знак $> .$

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#98028

В равнобедренном треугольнике $ABC$ на основании $BC$ взята точка $D,$ а на боковой стороне $AB$ — точки $E$ и $M,$ причем $AM =ME,$ и отрезок $DM$ параллелен стороне $AC.$ Докажите, что $AD + DE >AB + BE.$

Источники: ММО - 2011, первый день, 11.3(см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Соберите информацию про рисунок, поищите ещë какие-то равнобедренные треугольники, кроме ABC.

Подсказка 2

Вообще требуемое неравенство должно получиться из неравенства треугольника. Чтобы понять, из какого именно, рассмотрите среднюю линию треугольника EAD.

Показать доказательство

Первое решение.

$PIC$

Так как $DM ∥AC,$ то $∠MDB = ∠C = ∠B$ и $DM =MB =ME +EB.$ Обозначим через $K$ середину отрезка $DE.$ Тогда $MK$ — средняя линия в треугольнике $ADE$ и $AD = 2MK.$ По неравенству треугольника:

AD + DE = 2(DK + KM )> 2MD = 2ME + 2EB =

= AE +EB + EB = AB +EB

Второе решение.

$AB+ BE = 2BM,$ поскольку $AM = ME.MD ||AC,$ поэтому треугольник $BMD$ тоже равнобедренный и $2BM =2MD.$ Но $2MD <AD + DE$ как медиана в треугольнике $ADE.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#101762

В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $BB 1$ и $CC . 1$ Известно, что центр описанной окружности треугольника $BB C 1 1$ лежит на прямой $AC.$ Найдите угол $C$ треугольника.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте понять, что такое описанная окружность треугольника BB₁C₁ такая, что её центр лежит на прямой AC.

Подсказка 2

На самом деле важно, что эта окружность проходит через точки B, B₁, и её центр лежит на AC. Что же это за окружность?

Подсказка 3

Правильно! Это окружность Аполлония для точек A и C с коэффициентом AB/BC. Что тогда можно сказать про прямую C₁B₁?

Подсказка 4

Ага! Она является биссектрисой угла CC₁A! Теперь посмотрите внимательно на треугольник CBC₁ и поймите, чем для него является точка B₁.

Подсказка 5

Она является центром вневписанной окружности, которая лежит напротив вершины B. Осталось только посчитать углы при вершине С.

Показать ответ и решение

Рассмотрим окружность Аполлония для точек $A$ и $C$ и коэффициентом $AB∕BC.$ Она проходит через точки $B$ и $B 1$ и её центр лежит на прямой $AC,$ а значит, она совпадает с описанной окружностью треугольника $BB1C1.$ Поэтому $AB1∕B1C =AC1∕C1C,$ а значит, $C1B1$ — биссектриса угла $CC1A.$ Следовательно, $B1$ — центр вневписанной окружности треугольника $CBC1,$ то есть $B1C$ — внешняя биссектриса угла $C1CA.$ То есть угол $C$ равен $∘ 120 .$

$PIC$

Ответ:

$∠C = 120∘$