ММО до 2010
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На плоскости расположено 
точек. Отметим середины всевозможных отрезков с концами в этих точках. Какое наименьшее число
отмеченных точек может получиться?
Подсказка 1
Попробуйте придумать пример.
Подсказка 2
Что, если расположить все точки на оси OX через равные промежутки?
Подсказка 3
Тогда середины будут образовывать арифметическую прогрессию с шагом в половину расстояния между соседними точками, что даёт ровно 2N-3 различных середин. Докажите, что нельзя получить меньшее количество.
Подсказка 4
Попробуйте рассмотреть наибольший отрезок.
Подсказка 5
Рассмотрите середину наибольшего отрезка AB и середины AX и BX для произвольной точки X.
Подсказка 6
Докажите, что для N-2 точек (кроме A и B) есть ровно 2(N-2) уникальных середины.
Наименьшее возможное число отмеченных точек равно 
Пример: расположим все точки на оси 
через равные промежутки.
Тогда середины будут образовывать арифметическую прогрессию с шагом в половину расстояния между соседними точками, что даёт ровно
различных середин.
Докажем, что меньше 
получить нельзя. Пусть 
— наибольший отрезок. Его середина 
уникальна. Для любой другой
точки 
рассмотрим середины отрезков 
и 
Эти середины:
- Не совпадают с
так как 
и 
(иначе 
не был бы максимальным).
- По середине отрезка и одному из концов однозначно восстанавливается второй конец. Поэтому для любых
середины
отрезков 
(соответственно 
) различны.
- Для любых
середины отрезков 
различны: если бы они совпадали в точке 
то по неравенству
треугольника 
откуда 
или 
Таким образом, для 
точек (кроме 
и 
) получаем 
уникальных середин. Добавляя исходную середину 
получаем общее количество: 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
