ММО до 2010
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На графике многочлена с целыми коэффициентами отмечены две точки с целыми координатами. Докажите, что если расстояние между ними — целое число, то соединяющий их отрезок параллелен оси абсцисс.
Источники:
Подсказка 1
Есть две точки, которые лежат на графике, значит их координаты - это, скажем, А(а, Q(a)), B(b, Q(b)). Запишите теперь уравнение полученной прямой через коэффициент угла наклона (нам наверняка хочется, чтобы он был равен нулю).
Подсказка 2
Отлично, теперь запишите расстояние между этими двумя точками через эти заданные координаты (помним, это расстояние целое). Замечаем, что там есть выражение Q(a) - Q(b), подставим его из первого выражения, и теперь уже точно знаем, что коэффициент угла наклона равен 0 (осталось это доказать) :)
Пусть этот многочлен 
, а на оси абсцисс отмечены 
, тогда их координаты 
.
Используем теорему Безу
Запишем квадрат расстояния между точками
Тогда 
является точным квадратом, что возможно только при 
, что и означает 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
