ММО до 2010
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что если в числе 
между нулями вставить любое количество троек, то получится число, делящееся на
Источники:
Подсказка 1
Рассмотрим число вообще без троек, оно подходит. Если добавить тройку, будет ли оно также подходить? А если еще тройку?
Подсказка 2
Попробуем доказать, что, дописывая тройку, мы сохраняем делимость на 19. На что стоит посмотреть, когда рассматриваем два числа, которые должны делиться оба на какое-то простое p?
Подсказка 3
Да, на их разность, которая тоже делится на p. Осталось эту делимость доказать и вуаля - задача решена!
Первое решение.
Докажем утверждение методом математической индукции.
База индукции: 
делится на 
. Действительно, 
.
Шаг индукции: покажем, что если число указанного вида делится на 
, то и следующее за ним делится на 
Для этого достаточно доказать, что разность двух соседних чисел делится на 
В самом деле:
Эта разность делится на 
, так как 
Второе решение.
Вставим произвольное число троек, получим 
, умножим это число на 
, получится 
. Нам требуется
доказать, что это число кратно 
(умножение на 
на это свойство никак не влияет).
Добавим к полученному числу 
(очевидно, что на делимость это тоже не влияет), имеем 
,
которое кратно 
(
).
что и требовалось доказать
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
