ММО до 2010
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти геометрическое место середин отрезков с концами на двух различных непересекающихся окружностях, лежащих одна вне другой.
Подсказка 1
Пусть S₁ и S₂ — данные окружности, O₁ и O₂ — их центры. Может, попробуем параллельно перенести одну на другую?
Подсказка 2
Давайте считать, что R₁ ≤ R₂, параллельно перенесем вторую внутрь первой при помощи вектора (O₂O₁). Обозначим полученную окружности за S₂'. Пусть A₁ — точка окружности S₁, A₂ и A₂' — точки окружностей S₂ и S₂', соответствующие друг другу.
Подсказка 3
Пусть M — середина отрезка A₁A₂, M' — середина отрезка A₁A₂', тогда что можно сказать про вектор (M'M)?
Подсказка 4
В силу параллельного переноса, (M'M) = 1/2 * (O₁O₂). Какой случай тогда можно рассмотреть?
Подсказка 5
Далее будем рассматривать две концентрические окружности, ведь можно сдвинуть полученное ГМТ на данный вектор.
Подсказка 6
Пусть O — их центр, радиусы — R, r (R > r). Пусть точка А перемещается по меньшей окружности, В — по большей, рассмотрим середину этого отрезка.
Пусть 
и 
— данные окружности, 
и 
— их центры. Рассмотрим окружность 
которая получается из
окружности 
параллельным переносом на вектор 
центр этой окружности совпадает с центром окружности
Пусть 
— точка окружности 
и 
— точки окружностей 
и 
соответствующие друг другу. Если
— середина отрезка 
а 
— середина отрезка 
то 
Поэтому можно рассмотреть
случай, когда даны две концентрические окружности, потому что полученное ГМТ можно сдвинуть на вектор 
Пусть 
— общий центр двух окружностей радиусом 
и 
причём 
Фиксируем на окружности радиуса 
точку 
и
рассмотрим середины всех отрезков 
где точка 
перемещается по окружности радиуса 
Они образуют окружность
(в этом можно убедиться, если сделать гомотетию в 
с коэффициентом 
тогда все середины попадут на большую
окружность), причём её самая близкая к 
точка находится на расстоянии 
а самая далёкая — на расстоянии 
Если
точка 
будет двигаться по всей окружности, то мы получим кольцо с внутренним радиусом 
и внешним радиусом
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
