ММО до 2010
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Некоторый граф правильно раскрашен в 
цветов, причём его нельзя правильно раскрасить в меньшее число цветов. Докажите, что в этом
графе существует путь, вдоль которого встречаются вершины всех 
цветов ровно по одному разу.
Подсказка 1
Сказано, что нельзя в k-1 цвет, а вы попробуйте перекрашивать. Когда могут возникнуть трудности?
Подсказка 2
Перекрашивать произвольные вершины в разные цвета немного странно. Хочется определенные вершины перекрашивать в определенный цвет. Попробуйте вершины цвета 2 перекрасить в цвет 1?
Подсказка 3
Нам не удастся перекрасить все вершины по условию. Что нам могло помешать? Только вершины цвета 2, соединенные соединенные с цветом 1. А что, если поочередно так сделать со всеми цветами?
Подсказка 4
Теперь все вершины соединены с цветом на 1 меньше, либо их перекрасили. Найдите тут искомую цепочку.
Цвета, в которые покрашен граф, занумеруем от 
до 
Те вершины цвета 
которые не соседствуют ни с какими вершинами цвета 
перекрасим в цвет 
Новая раскраска будет правильной, поэтому в ней 
цветов. Значит, какие-то вершины цвета 
не перекрашены и
потому соседствуют с вершинами цвета 
Аналогично, вершины цвета 
которые не соседствуют с вершинами цвета 
перекрасим в
цвет 
и т. д. вплоть до последнего цвета.
После этого рассмотрим какую-либо вершину цвета 
Она не перекрашена, и потому соседствует с вершиной цвета 
Эта вершина
тоже не перекрашена, так как иначе её первоначальный цвет был бы 
и она не могла бы соседствовать с вершиной того же цвета. Раз
вершина не перекрашена, то она соседствует с вершиной цвета 
и т. д. Продолжая этот процесс, построим путь из вершин 
цветов,
которые не были перекрашены.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
