ММО до 2010
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Квадрат суммы цифр числа 
равен сумме цифр числа 
Найдите все такие двузначные числа 
Подсказка 1
Мы работаем с суммами цифр. Попробуйте определить их отношения для некоторых чисел.
Подсказка 2
Заметим, что если S(n) — сумма цифр числа n, то выполняется S(x + y) ≤ S(x) + S(y).
Подсказка 3
Пусть A = (ab) = 10a + b, оценим сумму цифр его квадрата.
Подсказка 4
Как можно оценить S(10ⁿa) и S(n)?
Подсказка 5
S(10ⁿa) = S(a), S(n) = S(1 + ... + 1) < n.
Несложно понять через сложение в столбик, что для суммы цифр 
выполняется следующее неравенство 
Пусть
тогда
Нетрудно понять, что 
и 
Следовательно,
Значит, во всех выписанных неравенствах должно достигаться равенство. Заметим, что равенство 
реализуется лишь при
однозначном 
(в этом можно убедиться, если записать 
в развёрнутой форме и сравнить её с суммой цифр). Таким образом, числа
должны быть однозначными. То есть 
Отсюда получаем все перечисленные в ответе
варианты.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
