ММО до 2010
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
— длины биссектрис углов 
и 
треугольника 
а 
— длины соответствующих медиан. Докажите,
что
Подсказка 1
Пусть a ≤ b ≤ c — стороны треугольника. Всякий отрезок внутри треугольника не превосходит длины его наибольшей стороны. Как тогда можно оценить выражение снизу?
Подсказка 2
Верно! Это выражение не меньше отношения суммы длин биссектрис, проведенных к сторонам a и b, к c. Осталось доказать, что сумма длин этих биссектрис превышает c. Можно ли для этого применить неравенство треугольника?
Подсказка 3
Из треугольника AIB имеем AI + IB > AB = c. Как тогда доказать требуемое неравенство?
Пусть 
и 
— длины сторон треугольника 
Без ограничения общности можно считать, что 
Пусть 
— точка
пересечения биссектрис треугольника 
Тогда
Здесь второе неравенство выполнено, поскольку любой отрезок внутри треугольника (в частности, любая медиана) не превосходит
наибольшей стороны. Третье неравенство выполнено, поскольку 
и 
Последнее неравенство выполнено в силу неравенства
треугольника для треугольника 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
