СПБГУ 2017

Подсказка 1

x₁² + ... + xₙ² + y₁² + ... + yₙ² — намёк на многомерную теорему Пифагора, а, значит, на многомерные векторы. Какое же пространство нам нужно рассмотреть и какие векторы?

Подсказка 2

Пространство — R^{2n} и вектор x = (x₁, ..., xₙ, y₁, ..., yₙ). Посмотрите на выражение А в условии и поймите, какие вспомогательные векторы нам понадобятся.

Подсказка 3

Именно! Это вектор a = (2,...2, -1, ..., -1) (двоек и -единиц поровну), а также вектор b = (1, ..., 1, 2, ..., 2) (тоже поровну). Какие-то похожие векторы а и b. Что же про них можно сказать?...

Подсказка 4

Точно! Они ортогональны (докажите это сами). Рассмотрим ещё один произвольный вектор c, который ортогонален a и b. Чем тогда является набор (a, b, c)?

Подсказка 5

Базисом нашего пространства! Тогда как можно представить наш вектор x?

Подсказка 6

Верно! Как линейную комбинацию векторов базиса. То есть x = na + mb + tc, где n,m,t — действительные. Вернёмся к нашему А. Запишем его с учётом наших продвижений...

Подсказка 7

А = <x,a> * <x,b> = (n<a, a> + m<b,a> + t<c, a>)*(n<a, b> + m<b,b> + t<c, b>) = nm|a|²|b|², где <> — скалярное произведение.

Подсказка 8

Самостоятельно докажите, что |x|² ≤ 2, потом сделайте оценку на nm. Тем самым вы сможете получит оценку на А. А что дальше?

Подсказка 9

Построить пример вектора x, когда достигается нужное значение. Небольшая подсказка: вектор не должен быть разнообразным...