СПБГУ 2015 и ранее
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Какое наибольшее количество различных подмножеств множества 
можно выбрать так, чтобы любые два различных
выбранных подмножества имели ровно 
общих элементов?
Подсказка 1
Обозначим за A множество {1, 2, ..., 2013}. Сколько существует различных подмножеств множества A, которые могут содержать ровно 2012 элементов?
Подсказка 2
Верно! Их всего 2013. Очевидно, что эти множества подходят под условие. Можно ли выбрать еще больше подмножеств?
Подсказка 3
Правильно! Больше нельзя, но как это доказать? Пусть множеств больше, но тогда есть множество с 2011 элементами, как тогда получить противоречие из условия?
Пусть 
Ясно, что существует ровно 
различных подмножеств 
содержащих по 
элементов, причем
пересечение любой пары таких подмножеств состоит из 
элементов. Поэтому ответ задачи не меньше, чем 
Докажем обратное
неравенство. Предположим, что нашлись подмножества 
удовлетворяющие условию задачи. Тогда верны два
утверждения.
Любое из множеств 
содержит не более 
элементов. В противном случае найдется множество 
совпадающее с 
Тогда остальные множества 
содержатся в 
Поэтому все они состоят из 
элементов и, значит, совпадают друг с другом, что
невозможно. Таким образом, каждое из множеств 
содержит 
или 
элементов.
Среди множеств 
ровно одно состоит из 
элементов. Действительно, хотя бы одно такое множество найдется, поскольку
существует только 
подмножеств 
из 
элементов. С другой стороны, любые два множества, состоящие из 
элементов,
совпадают.
Из доказанных утверждений вытекает, что в выбранную систему входят все 
-элементные подмножества 
и некоторое
-элементное подмножество 
(например, 
). Но не все 
-элементные подмножества 
содержат 
что противоречит
выбору множеств 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
