ПитерГор 2019
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан многочлен 
степени 
При этом у многочлена 
ровно 
корней, а у многочлена 
ровно 
корней.
Докажите, что расстояние между какими-то двумя корнями 
меньше 
Источники:
Подсказка 1
Мы хотим найти корни, расстояние между которыми маленькое. Это выполнится, если мы найдём достаточно много корней на отрезке небольшой длины.
Подсказка 2
Несложно заметить, что х²-1≥-1. Значит, не может возникнуть много корней f(x), которые не меньше, чем -1, ведь у f(х²-1) 3400 корней.
Подсказка 3
Аналогично, 1-х²≤1. Значит, не может возникнуть много корней f(x), которые не больше, чем 1. Тогда на отрезке [-1, 1] корней достаточно много.
Пусть 
имеет корни 
где 
Так как многочлен 
имеет ровно 
корней, а уравнение
имеет не более двух решений, то не более чем 
корней 
лежат за пределами 
— множества
значений 
Аналогично, так как 
имеет ровно 
корней, а уравнение 
— не более двух
решений, то не более чем 
корней 
лежат за пределами ![(−∞, 1]](/api/latex-service/v1/GetSession/132588/index-20740cb511feda427dcd65c2a3acf9ab.svg)
— множества значений 
Значит, не
менее
корней 
лежат на ![[−1,1],](/api/latex-service/v1/GetSession/132588/index-abac44f5e9d6c8ac59c9171b44b1fca9.svg)
откуда следует, что среди них есть два на расстоянии менее 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
