ПитерГор 2018

Обозначим через квадратный трёхчлен из условия задачи:

Если одновременно поменять знаки у всех коэффициентов трёхчлена то у него по-прежнему не будет корней, а требуемое неравенство не изменится. Поэтому можно считать, что и при всех

Решение 1.

Поскольку не имеет корней, его дискриминант отрицателен:

После деления на и приведения подобных получим неравенство

Нам требуется доказать, что или, что то же самое, Заменим в этом неравенстве на правую часть неравенства (*), тем самым уменьшив левую часть. Останется доказать неравенство

После приведения подобных оно примет вид

и теперь оно очевидно в силу неравенства о средних.

Решение 2.

Положим

Тогда По условию квадратный трёхчлен не имеет корней. Тогда его дискриминант отрицателен, значит, Перепишем в новых обозначениях неравенство, которое нужно доказать:

Это равносильно неравенству и в таком виде оно очевидно, поскольку