ПитерГор 2018
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Положительные иррациональные числа 
и 
таковы, что при всех 
выполнено равенство ![[α[βx]]= [β[αx]].](/api/latex-service/v1/GetSession/132574/index-83f0bbc5cd776a63f1708db7a3c7112a.svg)
Докажите, что
Источники:
Подсказка 1
Выражения с целой/дробной частью полезно сравнивать с некоторым целым числом, пусть это число n. Какие ограничения тогда накладываются на x?
Подсказка 2
С одной стороны x ≥ |n/a|/b, а с другой? ( обозначение: |m| — наименьшее целое число, которое больше либо равно x)
Подсказка 3
Для любого x выполняется условие x ≥ |n/a|/b и x ≥ |n/b|/a, но эти неравенства следуют из одного и того же равенства. Что это значит?
Подсказка 4
|n/a|/b = |n/b|/a. Докажите, что так бывает лишь при a = b.
Введём обозначение: будем считать, что нам даны два таких иррациональных параметра 
и 
что при всех 
выполнено равенство
![1 1 -11
[α[βx]]= [β [αx]].](/api/latex-service/v1/GetSession/132575/index-566ffd9a99a7cf9de22d85bd19acc628.svg)
По-прежнему требуется доказать, что 
Обозначим через 
верхнюю целую часть числа 
т.е. наименьшее целое число, которое больше либо равно 
Положим
![1 1
fα,β(x)= [α[βx]]](/api/latex-service/v1/GetSession/132575/index-af1542b7614c3d59d0b4288abf9b514a.svg)
и найдём, при каких натуральных 
выполняется неравенство 
Имеем
![[1[ 1 ]] 1 [1 ]
fα,β(x)≥n ⇔ α- βx ≥n ⇔ α- βx ≥ n⇔](/api/latex-service/v1/GetSession/132575/index-0bd1bc6043f7d95a4ab5fe9c2005c3b6.svg)
![[ ] [ ]
⇔ 1x ≥ αn ⇔ 1x ≥ ⌈αn⌉⇔ 1x ≥⌈αn⌉⇔ x ≥β⌈αn⌉.
β β β](/api/latex-service/v1/GetSession/132575/index-ecc98c16be7da0c63ab99e01449ddcad.svg)
Аналогично неравенство 
равносильно неравенству 
Поскольку 
мы приходим к выводу, что
при всех натуральных 
выполняется равенство 
или
Теперь понятно, что это равенство верно только при 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
