ПитерГор 2017
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В тетраэдре 
проведена высота 
Из точки 
на прямые 
и 
опущены перпендикуляры 
и 
Плоскости 
и 
пересекаются по прямой 
Точка 
— центр окружности, описанной около треугольника 
Докажите,
что прямые 
и 
перпендикулярны.
Источники:
Подсказка 1
Построим чертёж. Совсем не похоже на то, чтобы OH оказалась перпендикулярна какой-то из плоскостей, которые у нас есть. Поэтому этот, самый очевидный путь, отметаем! Но что же тут можно сделать? Наличие большого количества прямых углов, опирающихся на PH могут навести нас на мысль о сфере с диаметром PH — давайте попробуем посмотреть на это, чтобы побольше узнать о нашей конструкции.
Подсказка 2
Постройте точку Т — пересечение прямых АВ и А'B', что можно сказать о ней? Используйте ранее построенную сферу и некоторые свойства четырёхугольника AA'B'B!
Подсказка 3
Если всё сделано верно, то мы получили интересное равенство, связывающее точку Т с А, В и Н. Как мы можем это применить?
Подсказка 4
Наше равенство по сути означает что точка Т лежит на радикальной оси окружности описанной около △АВС и точки Н. Осталось лишь проделать аналогичные действия на других гранях и задача решена!
Заметим, что 
так что точки 
лежат на одной окружности. Пусть 
— точка пересечения прямых
и 
Имеем
последнее равенство выполнено в силу того, что прямая 
— касательная к сфере с диаметром 
а 
— секущая.
Таким образом, точка 
лежит на радикальной оси окружности, описанной около треугольника 
и точки 
(это частный
случай, когда одна из окружностей точка). На ней же лежат точки 
Значит, прямая 
и есть эта
радикальная ось. Она перпендикулярна линии центров 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
