ПВГ 2013
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все пары натуральных чисел ![x,y ∈ [1;8]](/api/latex-service/v1/GetSession/107030/index-8c3f416fb35e6f79beb4b45cd8f271b0.svg)
, удовлетворяющих равенству
(десятичная запись каждого из чисел 
и 
состоит из бесконечного количества одинаковых цифр).
Источники:
Подсказка 1
Давайте преобразуем наше равенство к какому-то более красивому виду. Нам поможет, что xx,xxx...= 100⋅x⋅0,11..., а y,yy...= 10⋅y⋅0,11...!
Подсказка 2
Подставим и заметим, что это делает наше выражение только лучше. Тогда если обозначить 0,111 за р, то р можно найти так - это сумма 0,1 + 0,01, + 0,001, ...... ТОгда это сумма геометрической прогрессии!
Нетрудно видеть, что 
а 
откуда сразу же
Посчитаем 
через десятичную запись: 
Получаем 
. Так как правая часть является натуральным числом, то 
должен быть квадратом какого-то натурального числа.
На заданном промежутке из квадратов есть только 
и 
.
При 
получаем 
При 
получаем 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
