ПВГ 2013

Подсказка 1

Что мы иногда делаем, когда хотим доказать, что какое-то число делится на a? Рассматриваем числа по модулю a! Давайте сделаем такой же трюк, только с многочленами.

Подсказка 2

Начнём с малого. Очевидно, что x² - x + 1 ≡ 0, значит, x² ≡ x - 1. Самостоятельно посмотрите на степени x вплоть до x⁶.

Подсказка 3

Получаем, что x³ ≡ -1, x⁴ ≡ -x, x⁵ ≡ -x + 1, x⁶ ≡ 1. Какой вывод из этого можно сделать?

Подсказка 4

Верно! Остатки степеней х по модулю x² - x + 1 зацикливаются с циклом длины 6. Как же теперь посчитать остатки для x²⁰¹³ и x⁹⁹?

Подсказка 5

С этой задачей вы точно справитесь! Докажите, что x²⁰¹³ ≡ -1 ≡ x⁹⁹. Вернёмся к тому, что от нас требуют.

Подсказка 6

Получаем, что многочлен ax + (b-2) должен делиться на многочлен x² - x + 1 при всех вещественных х. Кажется, если ax + (b-2) — невырожденное линейное уравнение, возникает много проблем. Докажите это сами, а с вырожденностью делать то особо нечего... Успехов!