ПВГ 2012

Подсказка 1

По сути, всё, что у нас сейчас есть на картинке — это два прямоугольных подобных треугольника PAC и QCB, у которых известная одна сторона, а также есть равенство из того, что это пересекающиеся хорды в окружности. Вы скажете, что это одно и тоже, но плюс в том, что у нас ещё появляется отношение AP к QB, которые, в свою очередь, удачно выражаются через стороны треугольника, хорды ведь пересекаются под прямым углом. Попробуйте применить рассуждения выше к тому, чтобы выразить все отрезки через некоторый в этой задаче (мы же поняли, что она счётная на подобия, поскольку у нас в условии есть только окружность и хорды).

Подсказка 2

Удобным здесь будет взять за х отрезок BC, поскольку именно он меньше в 8 раз отрезка AC. Тогда, чтобы выразить все отрезки хорд, остается лишь записать равенство на произведение отрезков хорд (или, говоря умными словами, расписать степень точки C относительно нашей окружности).

Подсказка 3

В силу наличия отношения уже указанных сторон, связанного с подобием, у нас есть равенство на х, откуда он находится. Значит, мы нашли все отрезки хорд и картинка фиксирована. Значит, мы можем найти все отрезки треугольника из условия. Остается только вспомнить формулу биссектрисы и факт про отношения на которые разбивает биссектриса сторону, и задача решена!