Тема Ломоносов - задания по годам

Ломоносов 2015

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ломоносов - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#58037Максимум баллов за задание: 7

В ящике лежат сто разноцветных шариков: $28$ красных, $20$ зелёных, $13$ жёлтых, $19$ синих, $11$ белых и $9$ чёрных. Какое наименьшее число шариков надо вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них заведомо оказалось не менее $15$ шариков одного цвета?

Источники: Ломоносов-2015, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем - а в каком случае мы вытянем максимальное число шариков так, чтобы там не было 15 одноцветных? Сколько максимум можно взять и не получить нужное? То есть предполагаем, что мы ужасно невезучие :).

Подсказка 2

Тогда в таком неудачном наборе будет 14 зеленых, 14 красных, 13 желтых, 14 синих, 11 белых, 9 черных, а всего 75! То есть ответ должен быть точно больше 75, иначе при маленькой удаче мы не получим желаемые 15 шаров. Осталось аккуратно объяснить, почему большего количества шариков будет достаточно!

Показать ответ и решение

Пусть мы взяли каждого цвета не более $14$ шариков. Тогда получаем суммарное количество $9+ 11 +14+ 14+13+ 14= 75$ шариков, при этом каждого цвета менее $15$ , то есть такое количество нам не подойдёт. Если взять хотя бы $76$ , то количество шариков, которых меньше $14$ , не может быть больше, поскольку мы взяли их все. Поэтому будет больше хотя бы одного цвета, шариков которого мы взяли $14$ штук. Тогда этого цвета будет хотя бы $15$ и такое количество нам подойдёт.

Ответ: 76

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#63893Максимум баллов за задание: 7

Отрезок $AB = 8$ пересекает плоскость $α$ под углом $30∘$ и делится этой плоскостью в отношении $1:3$ . Найдите радиус сферы, проходящей через точки $A$ и $B$ и пересекающей плоскость $α$ по окружности наименьшего радиуса.

Источники: Ломоносов-2015, 11.5 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Постройте диаметр получившейся окружности через точку С.

Подсказка 2

Найдите пересекающиеся хорды.

Подсказка 3

Хотелось бы оценить диаметр (следовательно, и радиус) получившейся окружности. Как это можно сделать?

Подсказка 4

Примените неравенство о средних.

Показать ответ и решение

Обозначив точку пересечения $AB$ с плоскостью $α$ через $C$ , получим $AC =2,BC = 6$ . В пересечении сферы с плоскостью получается некоторая окружность. Проведём через $C$ диаметр $MN$ этой окружности.

$PIC$

Тогда $AB$ и $MN$ — хорды сферы, и по свойству пересекающихся хорд: $MC ⋅CN = AC ⋅CB = 12$ . Так как $------- - MN = MC + CN ≥2√MC ⋅CN =4√ 3$ , то минимальный радиус окружности больше или равен $- 2√3$ и значение $- 2√ 3$ достигается при $MC =CN =2√3$ , то есть $C−$ центр этой окружности. Так как $∠COP = 90∘− ∠OCP = ∠NCP = 30∘$ , то $OC =2⋅CP.$ При этом $CP = AB2-− AC = 2.$ Значит, $R2 =OM2 =MC2 + OC2 = 12 +42 = 28.$

Ответ:

$2√7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#75749Максимум баллов за задание: 7

Маша, скучая на уроке математики, проделала с некоторым 2015-значным натуральным числом следующую операцию: от десятичной записи этого числа она отбросила последнюю цифру и к умноженному на 3 получившемуся числу прибавила удвоенную отброшенную цифру. С полученным числом она опять проделала ту же операцию и так далее. После многократного применения этой операции получающиеся у Маши числа перестали меняться, и тогда она остановилась.

(a) Какое число оказалось у Маши в конце?

(b) Какое наименьшее число могло быть у Маши в самом начале (укажите две его последние цифры)?

Подсказки к задаче

Пункт а), подсказка 1

Нам говорят, что числа у Маши перестали меняться - намекают на уравнение! Попробуйте его составить, грамотно обозначив число, получившееся у Маши.

Пункт а), подсказка 2

Подумайте, как часто такое уравнение имеет решение, если одна из наших переменных - цифра

Пункт б), подсказка 1

Изначально у нас было какое-то гигантское число, а стало 17 ⇒ число уменьшилось. Это произошло из-за того, что у Маши было какое-то специальное число? Или так всегда происходит?

Пункт б), подсказка 2

Верно, большое число всегда уменьшается после применения такой операции. Мы должны получить 17 в какой-то момент, надо бы понять что-то про изначальное число из этого. А какое число могло быть у Маши перед тем, как она получила 17? Видите что-то общее у этих чисел?

Пункт б), подсказка 3

Давайте попробуем доказать в общем виде, что если получилось число, делящееся на 17, то и до этого число делилось на 17. Попробуйте связать (10x + y) и (3x + 2y) так, чтобы там фигурировало 17.

Пункт б), подсказка 4

Можно заметить, что если к 3х + 2y добавить 17x, получится 2(10x + y). То есть изначальное число должно делиться на 17, надо просто найти наименьшее такое ⇒ надо взять 10²⁰¹⁴ и добавить к нему недостающий остаток

Пункт б), подсказка 5

17 - простое число. Помните теорему, помогающую найти остаток от деления на простое число?

Пункт б), подсказка 6

Конечно, это Малая теорема Ферма! Остаётся только представить 2014 в виде 16k + r, и задачка убита!

Показать ответ и решение

a) Пусть в конце осталось число $n$ , оканчивающееся на цифру $y$ . Тогда $n = 10x +y$ после очередной операции станет равным $3x+ 2y.$

Равенство $10x+ y = 3x+ 2y$ равносильно $y = 7x$ и, так как $y$ – цифра, то $y = 7,x= 1$ . Поэтому $n= 17$ .

b) Заметим, что если число $≥ 20$ , тогда оно обязательно уменьшается: $10x +y >3x+ 2y$ равносильно $7x> y$ . (что для $x> 1$ всегда верно). Из соотношения

2(10x+ y)=17x+ 3x+ 2y

следует, что число $10x +y$ делится на $17$ тогда и только тогда, когда $3x+2y$ делится на $17$ . Поскольку стабилизация операции происходит на числе $17$ , то исходное число также должно делиться на $17.$

Найдём наименьшее $2015$ -значное число, которое делится на $17$ . По малой теореме Ферма $16 10 ≡171,$ поэтому

2014 125⋅16 14 14 7 10 = 10 ⋅10 ≡1710 = (17⋅6− 2) ≡17−16⋅8 ≡178

Тогда число $102014+ 9$ - наименьшее число, которое делится на $17$ нацело, значит, это и будет наименьшее число, которое могла выписать Маша. Его последние две цифры $09$ .

Ответ:

a) $17$

b) $09$ (число $100...0009$ )

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#80514Максимум баллов за задание: 7

Найдите главный (наименьший положительный) период функции

−5 y = (arcsin(sin(arccos(cos3x)))) .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хотим найти период, попробуйте отталкиваться от cos(3x).

Подсказка 2

Что, если подставить x + π/3?

Показать ответ и решение

Заметим, что

( π) −5 −5 y x+ 3 = arcsin(sin(arccos(cos3x+ π)))) = arcsin(sin(arccos(− cos3x)))) =

= arcsin(sin(π− arccos(cos3x))))−5 = arcsin(sin(arccos(cos3x)))−5

если заменить $x$ на $π x+ 3$ , то ничего не изменится. Значит, период $π- a= 3n$ . Если $n ≥2$ , то $π a≤ 6$ и $−5 −5 y(a)=(arcsin(sin(arccos(cos3a)))) = (3a) = y(0)= 0$ . Значит, $π a= 3$ .

Ответ:

$π 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#91249Максимум баллов за задание: 7

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $DB$ перпендикулярны сторонам $DC$ и $AB$ соответственно. Из точки $B$ проведён перпендикуляр на сторону $AD,$ пересекающий $AC$ в точке $O.$ Найдите $AO$ , если $AB = 4,OC =6.$