Тема Ломоносов - задания по годам

Ломоносов 2015

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ломоносов - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#58037

В ящике лежат сто разноцветных шариков: $28$ красных, $20$ зелёных, $13$ жёлтых, $19$ синих, $11$ белых и $9$ чёрных. Какое наименьшее число шариков надо вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них заведомо оказалось не менее $15$ шариков одного цвета?

Источники: Ломоносов-2015, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Показать ответ и решение

Пусть мы взяли каждого цвета не более $14$ шариков. Тогда получаем суммарное количество $9+ 11 +14+ 14+13+ 14= 75$ шариков, при этом каждого цвета менее $15$ , то есть такое количество нам не подойдёт. Если взять хотя бы $76$ , то количество шариков, которых меньше $14$ , не может быть больше, поскольку мы взяли их все. Поэтому будет больше хотя бы одного цвета, шариков которого мы взяли $14$ штук. Тогда этого цвета будет хотя бы $15$ и такое количество нам подойдёт.

Ответ: 76

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#63893

Отрезок $AB = 8$ пересекает плоскость $α$ под углом $30∘$ и делится этой плоскостью в отношении $1:3$ . Найдите радиус сферы, проходящей через точки $A$ и $B$ и пересекающей плоскость $α$ по окружности наименьшего радиуса.

Источники: Ломоносов-2015, 11.5 (см. olymp.msu.ru)

Показать ответ и решение

Обозначив точку пересечения $AB$ с плоскостью $α$ через $C$ , получим $AC =2,BC = 6$ . В пересечении сферы с плоскостью получается некоторая окружность. Проведём через $C$ диаметр $MN$ этой окружности.

$PIC$

Тогда $AB$ и $MN$ — хорды сферы, и по свойству пересекающихся хорд: $MC ⋅CN = AC ⋅CB = 12$ . Так как $------- - MN = MC + CN ≥2√MC ⋅CN =4√ 3$ , то минимальный радиус окружности больше или равен $- 2√3$ и значение $- 2√ 3$ достигается при $MC =CN =2√3$ , то есть $C−$ центр этой окружности. Так как $∠COP = 90∘− ∠OCP = ∠NCP = 30∘$ , то $OC =2⋅CP.$ При этом $CP = AB2-− AC = 2.$ Значит, $R2 =OM2 =MC2 + OC2 = 12 +42 = 28.$

Ответ:

$2√7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#75749

Маша, скучая на уроке математики, проделала с некоторым 2015-значным натуральным числом следующую операцию: от десятичной записи этого числа она отбросила последнюю цифру и к умноженному на 3 получившемуся числу прибавила удвоенную отброшенную цифру. С полученным числом она опять проделала ту же операцию и так далее. После многократного применения этой операции получающиеся у Маши числа перестали меняться, и тогда она остановилась.

(a) Какое число оказалось у Маши в конце?

(b) Какое наименьшее число могло быть у Маши в самом начале (укажите две его последние цифры)?

Показать ответ и решение

a) Пусть в конце осталось число $n$ , оканчивающееся на цифру $y$ . Тогда $n = 10x +y$ после очередной операции станет равным $3x+ 2y.$

Равенство $10x+ y = 3x+ 2y$ равносильно $y = 7x$ и, так как $y$ – цифра, то $y = 7,x= 1$ . Поэтому $n= 17$ .

b) Заметим, что если число $≥ 20$ , тогда оно обязательно уменьшается: $10x +y >3x+ 2y$ равносильно $7x> y$ . (что для $x> 1$ всегда верно). Из соотношения

2(10x+ y)=17x+ 3x+ 2y

следует, что число $10x +y$ делится на $17$ тогда и только тогда, когда $3x+2y$ делится на $17$ . Поскольку стабилизация операции происходит на числе $17$ , то исходное число также должно делиться на $17.$

Найдём наименьшее $2015$ -значное число, которое делится на $17$ . По малой теореме Ферма $16 10 ≡171,$ поэтому

2014 125⋅16 14 14 7 10 = 10 ⋅10 ≡1710 = (17⋅6− 2) ≡17−16⋅8 ≡178

Тогда число $102014+ 9$ - наименьшее число, которое делится на $17$ нацело, значит, это и будет наименьшее число, которое могла выписать Маша. Его последние две цифры $09$ .

Ответ:

a) $17$

b) $09$ (число $100...0009$ )

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#80514

Найдите главный (наименьший положительный) период функции

−5 y = (arcsin(sin(arccos(cos3x)))) .

Показать ответ и решение

Заметим, что

( π) −5 −5 y x+ 3 = arcsin(sin(arccos(cos3x+ π)))) = arcsin(sin(arccos(− cos3x)))) =

= arcsin(sin(π− arccos(cos3x))))−5 = arcsin(sin(arccos(cos3x)))−5

если заменить $x$ на $π x+ 3$ , то ничего не изменится. Значит, период $π- a= 3n$ . Если $n ≥2$ , то $π a≤ 6$ и $−5 −5 y(a)=(arcsin(sin(arccos(cos3a)))) = (3a) = y(0)= 0$ . Значит, $π a= 3$ .

Ответ:

$π 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#91249

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $DB$ перпендикулярны сторонам $DC$ и $AB$ соответственно. Из точки $B$ проведён перпендикуляр на сторону $AD,$ пересекающий $AC$ в точке $O.$ Найдите $AO$ , если $AB = 4,OC =6.$