Тема Курчатов - задания по годам

Курчатов 2016

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела курчатов - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#47215Максимум баллов за задание: 7

Назовем натуральное число модным, если в его записи встречается группа цифр $2016$ (например, числа $32016,1120165$ модны, а $3,216,20516$ — нет). Докажите, что всякое натуральное число можно получить как частное от деления модного числа на модное.

Источники: Курчатов-2016, 11.4 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как не раз говорил ДА, давайте сначала попробуем не целиком пример придумать, а постепенно его сделать. Вот сразу придумать такие числа, чтобы оба числа были модными и при этом делились друг на друга сложно. А можно ли придумать число, которые являлось бы заведомо модным и при этом делилось бы на наше? А как его найти?

Подсказка 2

Искать подобные числа в явном виде, зачастую, затруднительно, потому надо рассматривать набор и в доказывать, что в нем есть такое число. Если число N является k-значным (N-то на что нужно, чтобы делилось), то из набора вида 201600…0,201600…1,….,201699…9(после 2016 идут k-значные числа), по принципу Дирихле можно выбрать такое число, которое будет делиться на N. Пусть оно равно A, при этом, A/N=B. Но вот незадача, В необязательно модное. С другой стороны, если приписать что-то понятное к A, при этом делящееся на N, то можно получить число, которое делится на N, которое модное(из-за того, что содержит в себе A). Осталось так приписать это «что-то», чтобы после деления на N оно было модным.

Подсказка 3

Удобно было бы приписать к A число 2016N. Подумайте , что произойдет после того, как поделить данное число на N и почему вообще оно такое удобное для нас. После этого, задача сама решится:)

Показать ответ и решение

Пусть мы хотим получить число $N$ , которое содержит $k$ знаков. Рассмотрим числа $2016 0...0, ...20169...9 ◟ ◝k◜ ◞ ◟ ◝k◜ ◞$ . Среди этих чисел хотя бы одно делится на $N$ по принципу Дирихле, пусть оно равно $A$ , при этом $A∕N = B$ .

Пусть также $C = 2016 ⋅N$ — $m$ -значно. Рассмотрим число $D = B0◟..◝◜.0◞2016 m−4$ , тогда $E = D ⋅N = A-2016⋅N-$ . В итоге $N = E∕D$ — отношение двух модных.

Ответ:

что и требовалось доказать

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#80498Максимум баллов за задание: 7

Имеется 288 внешне одинаковых монет весами 7 и 8 грамм (есть и те, и другие). На чаши весов положили по 144 монеты так, что весы в равновесии. За одну операцию можно взять с чаш любые две группы из одинакового числа монет и поменять их местами. Докажите, что можно не более, чем за 11 операций сделать так, чтобы весы не были в равновесии.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что-то подсказывает, что начинать менять большими группами — так себе идея, ведь мы ничего не будем знать про то, как группы устроены внутри. Поэтому начинать нужно с маленьких групп, у которых вариантов наборов немного. Разумеется, будем решать задачу от противного. Далее поймёте, что это накладывает очень много нужных нам ограничений. Итак, с каких групп стоит начать?

Подсказка 2

Верно! С самых маленьких. Поменяем местами две монеты (с каждой чаши по одной). Из предположения, они одинаковы. Это уже какая-то определённость. Может сделаем так ещё раз?

Подсказка 3

Действительно, аналогично мы можем найти ещё одну, одинаковую с этими двумя, монету. То есть на одной из чащ уже 2 одинаковых. Менять по одной — никаких 11 операций точно не хватит, нужно увеличивать шаг. Кажется, мы можем сделать подобное с 4 монетами (по 2 с каждой чаши)…

Подсказка 4

Точно! Таким же образом получите, что теперь у вас на одной из чаш уже 3 одинаковые монеты. Потом 5 и т.д. Интересно, на какую известную последовательность намекают эти числа?

Подсказка 5

Это же последовательность Фибоначчи! Невзначай скажем, что F₁₂ = 144, а дальше мы замолкаем. Успехов!

Показать доказательство

Будем менять группы монет с разных чаш. Пусть у нас при каждой из следующих замен равновесие сохраняется. Поменяем по одной монете. Они одинаковы. Поменяем одну из этих монет с новой. Теперь три монеты одинаковы: пара на одной и одна — на другой чаше. Поменяем эту пару с парой еще нетронутых. Теперь на одной чаше пара одинаковых, на другой — тройка таких же монет. Поменяем тройку с тройкой нетронутых. Теперь на одной чаше тройка одинаковых монет, на другой — пять таких же монет. Продолжая в том же духе, после k-го шага получим на одной чаше $Fk$ одинаковых монет, а на другой — $Fk+1$ таких же монет, где $Fi$ — i-ое число Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. Итак, после 11-го шага на одной из чаш все монеты одинаковы. Но тогда они таковы же и на другой, что по условию невозможно.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания