Тема Росатом - задания по годам

Росатом 2018

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела росатом - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#45522

Робот может совершать равные по длине шаги по дорожке вперед и назад, при этом выбор направления движения каждого шага является случайным и равновозможным. Робот сделал $10$ шагов и остановился. Найти вероятность того, что он окажется на расстоянии более двух шагов от начала движения.

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Итак, давайте посчитаем, сколько у него способов оказаться в конкретном месте x, (пусть начинает робот в 0), а затем посмотрим, какие координаты подходят, а какие нет! Заметим, что x четное, так как робот сделал 10 шагов. Давайте составим систему уравнений и попробуем понять, сколько шагов роботу пришлось сделать вперед, а сколько назад, чтобы оказаться в x?

Подсказка 2!

Так, пусть а - шаги вперед, б - шаги назад. Тогда их сумма - 10, а из разность должна быть ровно x! Попробуйте найти а и б и понять, сколько способов выбрать, в каком порядке будут происходить эти а шагов вперед и б шагов назад!

Подсказка 3!

Итак, не забываем о четности k и об условии на его величину!

Показать ответ и решение

Посчитаем сколько способов у робота попасть в каждую координату $k.$ Понятно, что $k$ должно быть чётно. Всего робот делает $10$ шагов, при этом его суммарное смещение равно $k,$ то есть шагов одного вида было ровно на $k$ больше. Имеем систему ( $a$ — число шагов вперёд, $b$ — назад)

( |{ a +b= 10 |( a − b= k a,b≥ 0

Которая имеет единственное решение относительно $a= k+10,b= 10−-k. 2 2$ После этого роботу достаточно выбрать номера шагов, на которых он идёт вперёд — способов это сделать $Ca = Cb. 10 10$ Из условия возможны только $k∈ {−10,−8,−6,−4,4,6,8,10},$ в силу симметрии оставим только положительные. Всего при этом маршрутов у робота $210,$ в итоге имеем вероятность

C710 +C810+ C910+C1010 2⋅176 11 2⋅ -------210--------= 1024-= 32

Замечание. Такой процесс называется одномерным симметричным случайным блужданием, формулу несложно обобщить до случая несимметричного $p ⁄= 12,$ умножая на вероятности шага в каждую сторону. Почему сумма вероятностей будет равна единице?

Ответ:

$11 32$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#68258

Около выпуклого четырехугольника $ABCD$ , диагонали которого перпендикулярны и по длине равны 5 и 6, можно описать окружность с центром в точке $O$ . Найдите площадь четырехугольника $ABCO$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначим дуги AB и BC за b и a соответственно. Что мы можем тогда сказать про дуги CD и AD, если мы знаем, что AC и BD перпендикулярны?

Подсказка 2

AB+СD=2*90° и BC+AD=2*90°. Тогда AOB=b, BOC=a, COD=180°-b и AOD=180°-a. Как тогда между собой относятся площади треугольников AOB и COD, если вспомнить, что sin(x)=sin(180°-x)...

Подсказка 3

Они равны, ведь S(AOB)=R*R*sin(b)/2 и S(COD)=R*R*sin(180°-b)/2=R*R*sin(b)/2. Аналогично, равны площади треугольников BOC и AOD. Что мы можем сказать про отношение площадей четырехугольника ABCO и ABCD?

Подсказка 4

S(ABCO) = S(AOB)+S(BOC) и S(ABCD) = S(AOB)+S(BOC)+S(COD)+S(AOD)=2(S(AOB)+S(BOC))=2S(ABCO). Осталось только вспомнить формулу для площади четырехугольника через диагонали и угол между ними и завершить решение.

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть хорды $BC$ и $AB$ стягивают дуги с центральными углами $α$ и $β$ соответственно. Тогда в силу перпендикулярности диагоналей, хорды $AD$ и $CD$ стягивают дуги с центральными углами $180∘− α$ и $180∘− β$ . То есть имеем

∠BOC =α, ∠BOA = β, ∠AOD = 180∘ − α, ∠DOC = 180∘− β

Сумма площадей треугольников $BCO$ и $ABO$ равна:

SBCO +SABO = 1R⋅R sinα+ 1R ⋅Rsinβ = 2 2

= 1R2(sinα+ sinβ), 2

где $R$ - радиус описанной окружности.

Сумма площадей треугольников $ADO$ и $CDO$ равна:

1 2 SADO+ SCDO = 2R (sin(π − α)+ sin(π − β))=

1 2 = 2R (sinα +sin β)=SBCO + SABO.

Таким образом, площадь четырехугольника $ABCO$ равна половине площади четырехугольника $ABCD$ , равной $12d1⋅d2 = 12 ⋅5⋅6 =15.$

Ответ: 7,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#82710

Найдите натуральное число, делящееся на 225 и имеющее 15 различных делителей.

Показать ответ и решение

Заметим, что $225 =32⋅52.$ Пусть $n$ — число, которое мы ищем. Тогда $n =32+k⋅52+t⋅s,$ где $k$ и $t$ — неотрицательные целые числа, а $s$ — натуральное, не делящееся на $3$ и $5$ .

Пусть $r$ — число делителей $s,$ Заметим, что число $n$ имеет $(2+ k+ 1)(2+ t+1)r$ делителей. Так как всего делителей у нас $15,$ то получаем уравнение