Росатом 2015 и ранее
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Математический бильярд имеет форму параллелограмма 
. На сторонах 
и 
соответственной расположены точки 
и 
так, что 
, а 
. Шар находится в точке 
пересечения прямых 
и 
. Известно, что шар,
направленный в точку 
борта 
, отразившись от четырех различных бортов, вернулся в точку 
и, продолжив свое движение,
повторил свою предыдущую траекторию. Найти величину отношения 
: 
, если известно, что траектория шара — выпуклый
четырехугольник.
Подсказка 1
Хм... Бильярдный стол формы параллелограмма, интересно, конечно, но не очень практично. К тому же, наш шар катится по одной и той же выпуклой траектории, вряд ли такое могло произойти в обычном параллелограмме. Давайте попробуем выяснить что-то ещё про форму ABCD, посчитав уголочки отражения.
Подсказка 2
Действительно, если посчитать углы, то выясним, что они разбиваются на две пары равных. А из этого следует, что ABCD не только параллелограмм, но и прямоугольник!
Подсказка 3
Прежде чем размышлять о том, как выглядит траектория шара, хорошо бы понять, откуда она начинается. Давайте введём декартову систему координат с началом в точке A. Тогда нетрудно найти уравнения, задающие прямые CE и BF.
Подсказка 4
Раз уж мы ввели систему координат, то, наверное, хочется найти уравнение прямой MN, чтобы понять, в каком отношении точка N делит BC. Кроме того, не просто так нам сказали про точку M', а мы пока никак ей не воспользовались. Подумайте, как нам использовать M' для построение уравнения прямой MN.
Подсказка 5
Равные углы отражения и тот факт, что бильярдный стол — это прямоугольник, намекают нам на то, что мы должны выпрямить нашу траекторию в один отрезок с начало в M и концом в M'. Давайте поочерёдно отразим наш прямоугольник относительно всех его сторон, чтобы выпрямить траекторию.
Рассмотрим траекторию движения, следуя правилу "угол падения равен углу отражения". Пусть эти углы равны 
для случаев
отражения от бортов 
, 
, 
, 
соответственно. Тогда выполняются равенства 
и 
из тех
соображений, что противоположные углы параллелограмма равны. Из этих равенств вытекает, что 
и 
, из чего, в свою
очередь, следует, что 
– прямоугольник.
Введём аффинную систему координат, в которой 
, 
, 
, 
и выпишем уравнения прямых 
и 
.
Поскольку 
и 
, прямые 
и 
задаются уравнениями:
соответственно, а их точкой пересечения будет 
Теперь отразим прямоугольник 
зеркально сначала от стороны 
, затем от стороны, в которую перешла 
при этом
отражении, и далее для двух оставшихся сторон по тому же принципу. Это стандартная процедура "выпрямления"бильярдной траектории,
соответствующая равенству угла падения углу отражения.
При таких "зеркальных"отражениях траектория становится отрезком 
, где 
- образ точки 
после серии отражений. Её
координаты легко вычислить: после четырёх отражений прямоугольник сохранил ориентацию, и сдвинулся на два размера влево и на
два размера вверх. Таким образом, 
, и прямая 
имеет угловой коэффициент 
. Её уравнением
будет
и прямую 
, заданную уравнением 
, она пересекает в точке с абсциссой 
. Это значит, что точка 
, в которую был
направлен шар, делит отрезок 
в отношении 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
