Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Формула единства до 2020

Тема Формула единства - задания по годам

Формула единства до 2020

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела формула единства - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#91341Максимум баллов за задание: 7

Натуральное число $n$ назовём кубоватым, если $n3+ 13n− 273$ является кубом натурального числа. Найдите сумму всех кубоватых чисел.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какой мы знаем распространённый метод для поиска кубов и квадратов целых чисел? Намёк: нам могут помочь ФСУ!

Подсказка 2

Попробуйте "зажать" рассматриваемое выражение между кубами двух соседних чисел, так мы сразу отсечём некоторые возможные значения n.

Подсказка 3

А есть ли ещё пары соседних чисел, кроме ранее рассмотренной, которые могут ограничить наше выражение?

Подсказка 4

Осталось лишь сделать небольшой числовой перебор и задача решена!

Показать ответ и решение

При $n= 21$ это число равно $213,$ то есть кубу.

Если $n> 21$ , то

3 3 2 3 3 (n +1) = n +3n + 3n+ 1> n +13n− 273> n

то есть это не может быть кубом.

Если $n< 21,$ то $n3+13n− 273< n3.$ Также для $n >8,$ выполняется неравенство

3 3 3 2 n +13n− 273>(n− 1) =n − 3n + 3n− 1

то есть выражение не может быть кубом. Осталось перебрать $n ≤8.$

Если $n= 8,$ то $n3+ 13n − 273= 73.$

Если $n= 7,$ то $n3+ 13n − 273= 161$ ?!

Если $n= 6,$ то $n3+ 13n − 273= 21$ ?!

Если $n≤ 5,$ то $n3+ 13n − 273≤ 53 +13⋅5− 273 <0$ ?!

Ответ: 29