Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Формула единства до 2020

Тема Формула единства - задания по годам

Формула единства до 2020

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела формула единства - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#91341

Натуральное число $n$ назовём кубоватым, если $n3+ 13n− 273$ является кубом натурального числа. Найдите сумму всех кубоватых чисел.

Показать ответ и решение

При $n= 21$ это число равно $213$ , то есть кубу.

Если $n> 21$ , то $3 3 2 3 3 (n +1) = n +3n + 3n+ 1> n +13n− 273> n$ , то есть это не может быть квадратом.

Если $n< 21$ , то $3 3 n + 13n− 273< n$ . Значит $3 3 3 2 n +13n− 273 ≤(n− 1) =n − 3n + 3n − 1$ . Отсюда получается, что $2 3n + 10n − 283< 0$ и $2 n < 100$ .

$n= 9$ не подходит под неравенство $2 3n + 10n − 283< 0$ .

Если $n= 8$ , то $3 3 n + 13n − 273= 7$ .

Если $n= 7$ , то $3 n + 13n − 273= 161$ ?!

Если $n= 6$ , то $3 n + 13n − 273= 21$ ?!

Если $n≤ 5$ , то $3 3 n + 13n − 273≤ 5 +13⋅5− 273 <0$ ?!

Ответ: 29