ОММО 2016
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Карлсон написал дробь 
Малыш может:
- прибавлять любое натуральное число к числителю и знаменателю одновременно,
- умножать числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число.
Сможет ли Малыш с помощью этих действий получить дробь, равную 
Подсказка 1
Когда речь заходит о процессе, в котором мы можем выполнять только некоторые фиксированные шаги, всегда хорошей идеей будет подумать про инвариант. Что можно сказать о первом и втором действии?
Подсказка 2
Кажется, второе действие никак не меняет значение дроби, а первое действие не уменьшает её значения, если она меньше единицы. Как это доказать?
Подсказка 3
Предположение про второе действие верно, потому что мы всегда можем сократить числа и получить исходную дробь. А чтобы доказать предположение про неуменьшение дроби после первого действия, запишем его в виде неравенства и попробуем решить.
Подсказка 4
Но искомое неравенство сразу следует из того, что наша дробь меньше единицы! Теперь осталось понять, как факт неуменьшения значения дроби при любых операциях будет решать задачу.
Заметим, что при обоих разрешённых действиях дробь не уменьшается и всегда остается меньше единицы.
Действительно, от второго действия величина дроби не меняется, осталось проверить первое действие.
Пусть на некотором шаге имеется дробь 
, где 
. Мы из нее получаем дробь 
, тогда 
. Чтобы доказать
неравенство
просто перемножим крест-накрест, получив
что равносильно
Последнее неравенство очевидно следует из 
.
Итак, дробь уменьшаться при действиях Малыша не может. Но исходная дробь 
больше, чем 
. Значит, у Малыша не выйдет
получить дробь, равную 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
