Тема ОММО - задания по годам

ОММО 2010

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела оммо - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#43116Максимум баллов за задание: 7

Вершины $K,L,M,N$ четырехугольника $KLMN$ лежат соответственно на сторонах $AB,BC,CD, DA$ квадрата $ABCD.$ Найти наименьший возможный периметр четырехугольника $KLMN,$ если $AK = 2$ см, $BK =4$ см и $AN =ND.$

Источники: ОММО-2010, номер 7, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Очень часто, когда просят найти наименьший периметр, помогает сводить задачу к неравенству ломаной. Т.е. все нужные нам отрезки "сложить" в одну ломаную. Каким образом это удобнее всего сделать в нашем случае, учитывая, что у нас квадрат?

Подсказка 2

Квадрат удобно отражать и переносить. Осталось лишь подумать, относительно каких сторон это делать, чтобы каждый раз у нас появлялся новый кусочек ломаной, которую хотим создать из нужных отрезков.

Показать ответ и решение

Первое решение.

$PIC$

(везде ниже единицы измерения — сантиметры)

Из первого условия $AB =6 =⇒ AN = ND = 3.$ Сведём задачу к неравенству ломаной. Для этого отразим квадрат относительно $CD$ ( $A → A′,B → B′),$ а затем относительно $BC ′$ ( $D → D ′,A′ → A′′,M → M ′).$ Легко видеть, что $LM = LM ′.$ Далее отразим $N$ относительно $C$ в точку $N′ ∈ D′A ′′.$ Можно считать, что точку $M$ мы ранее также отражали относительно $C,$ потому $M ′N ′ =MN.$ По неравенству ломаной $KN ′ ≤ KL+ LM ′+M ′N′ = PKLMN − NK.$ Отрезок $NK =√32-+22 = √13$ фиксирован, потому достаточно посчитать длину $KN ′$ (нетрудно видеть, что минимум достигается подбором точек $L$ и $M ).$ Используем теорему Пифагора $xKN ′ =6 +3= 9$ (“проекция на $Ox$ ”) и $yKN′ = 4+ 6= 10,$ откуда $KN ′ = √181.$

Второе решение.

Введём систему координат с центром в точке $A,$ ось $Ox$ направим вдоль $AD,$ ось $Oy$ вдоль $AB,$ возьмём за единицу измерения $1$ см. Обозначим координату точки $L$ по оси $x$ за $a,$ координату точки $M$ по оси $y$ — за $b.$ Тогда по теореме Пифагора периметр четырёхугольника $KLMN$ равен

∘a2+-42+ ∘(6−-a)2+-(6− b)2+∘32-+-y2+∘32-+-22

Отметим точки с соответствующими им координатами: $R (a;4),P(6;10− b);Q(9;10).$ По неравенству ломаной

∘-2----2 AR+ RP +P Q≥ AQ = 9 + 10

причём равенство достигается при $x4 = 106−b = 190 =⇒ a= 158 ,b= 103 .$

Итак, минимальный периметр равен $√92-+102+ √32+-22.$

Ответ:

$√13-+√181$ см

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#80595Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

f(f(x))=f(x),

где

∘5----3--- f(x) = 3− x − x.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, может мыть мы можем подобрать какие-нибудь корни....И правда, ведь x = 1 точно подойдёт.

Подсказка 2

Нужно подумать, почему других корней нет. Может быть, сослаться на какую-нибудь монотонность?

Показать ответ и решение

Уравнение $f(x)= x$ имеет корень $x= 1.$ Этот же корень имеет уравнение $f(f(x)) =f(x).$ Других корней быть не может, поскольку функция $f(x)$ убывает, а $f(f(x))$ — возрастает.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#80647Максимум баллов за задание: 7

Найдите сумму

sin π sin2π sin 3π- sin2021π --23 +--232-+ -233-+ ...+ -220231-.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, подумаем про периодичность синуса...Ведь мы можем разделить всё наше выражение на 6 групп, в каждой из которых синус будет давать одинаковые значения.

Подсказка 2

Что же делать теперь? Увидеть геометрическую прогрессию! Воспользоваться формулой и не перепутать табличные тригонометрические значения.

Показать ответ и решение

С учетом периодичности синуса сумму можно сгруппировать по 6. Тогда получим следующее:

sin π sin 2π sin(2021π) --23 +--232-+ ...+ --220231-- =

( √- √- √ - √ - ) = -3⋅ 1 +-3⋅-1 +0⋅-1 −--3⋅-1− --3⋅ 1-+ 0⋅ 1 + 2 2 2 22 23 2 24 2 25 26

(√- √- √- √ - ) + -3-⋅ 17 +-3-⋅ 18-+0 ⋅ 19-−-3⋅-110 −-3⋅-111 + 0⋅ 112 + ...+ 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2

( √3 1 √3 1 1 √3 1 √3 1 1 ) + 2-⋅ 22011-+ 2-⋅22012 +0 ⋅22013-− 2-⋅22014 − 2-⋅22015 +0⋅ 22016- +

( √- √- √- √- ) + -3-⋅-1--+ -3-⋅-1--+ 0⋅-1--− -3-⋅-1--− -3-⋅-1-- + = 2 22017 2 22018 22019 2 22020 2 22021

√- ( ) √-( ) = -3- 1 +-12 −-14 − 15- + -3- 17 + 18 −-110-− 111 +...+ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

√- √- = -3-(-1--+ --1-− --1- −--1-) + -3( -1--+ -1--− -1--− --1-) = 2 22011 22012 22014 22015 2 22017 22018 22020 22021

21√3-( 1 1 1 1 1 ) = -2-- 25 +211 + ...+ 22009 + 22015 + 22021 =

√- 1-( ( 1-)337) √- 21-3 25-1−--26-----= 21-3(1 − -1--) 2 1− 126 26 − 1 22022

Ответ:

$21√3(1−--1-) 26−1 22022$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#91037Максимум баллов за задание: 7

В диване живут клопы и блохи. Боря лежит на диване и рассуждает: если клопов станет в несколько раз больше, то всего насекомых будет $2012,$ а если блох станет во столько же раз больше, а число клопов не изменится, то всего насекомых будет $2011.$ Сколько же насекомых живет в диване сейчас?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначим переменными количество клопов и блох, также введём коэффициент, показывающий во сколько раз мы увеличиваем выражение. Кажется теперь можно составить уравнения...

Подсказка 2

Теперь можно попытаться разложить на множители то, что у нас получилось и попытаться увидеть что-нибудь красивое. Мы получили, что произведение двух скобок равно 1, значит мы с уверенностью можем сказать чему равно количество насекомых и коэффициент увеличения.

Показать ответ и решение

Пусть в диване живут $x$ клопов и $y$ блох. Через $n$ обозначим количество, в которое будем увеличивать. Тогда по условию имеем $nx +y = 2012,x+ ny = 2011.$ Если вычесть из второго равенства первое, мы получим $(n− 1)(x− y)= 1.$ То есть $n − 1$ делит $1,$ а значит $n − 1$ равно либо $1,$ либо $− 1.$ Второй вариант нам не подходит, потому что тогда $n= 0.$ Следовательно, $n =2.$ Если сложить равенства, полученные выше, и поделить на $3,$ получим: $x+ y = 1341.$

Ответ:

$1341$