Тема . ЮМШ - задания по годам

ЮМШ до 2020

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела юмш - задания по годам

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#98625

Пусть $x,y,z >0$ . Докажите следующее неравенство:

x2-+2y2+-2z2- y2-+2z2+-2x2 z2+-2x2+-2y2 x2+ yz + y2+ zx + z2+ xy >6.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В знаменателе присутствует удвоенное произведение переменных, а в числителе — квадраты. На какие замены или оценки это может намекать?

Подсказка 2

Воспользуемся неравенством о средних! Можем попробовать избравиться от удвоенных произведений.

Подсказка 3

Отлично, теперь у нас в знаменателе есть квадраты всех переменных. Было бы хорошо иметь одинаковые знаменатели, однако заменять их на меньшие и продолжать цепочку неравенств мы пока не можем. Вот если бы перед дробями был бы минус....

Подсказка 4

Выделите в каждой дроби целую часть и сделайте оценку. Нам было бы очень удобно привести дроби к похожему виду!

Показать доказательство

Первое решение.

Так как для любых чисел $x$ и $y$ верно $2 2 2xy ≤x + y ,$ то

x2+ 2y2+ 2z2 y2+ 2z2+2x2 z2+ 2x2+2y2 --2x2+-2yz-- +--2y2+-2zx-- +--2z2+-2xy-- ≥

2 2 2 2 2 2 2 2 2 ≥ x-+2-2y2+2z2 + y-+2-2z2+2x2 + z-+2-2x2+2y2-= 2x + y + z 2y + z + x 2z + x + y

= 2− ---3x2----+ 2− ---3y2----+ 2− ---3z2----. 2x2 +y2+ z2 2y2+ z2+ x2 2z2+ x2+ y2

Так как по условию числа положительные, а для любого ненулевого числа $x$ верно $2 2 2x >x ,$ то

3x2 3y2 3z2 2− 2x2+-y2+z2 +2− 2y2+-z2-+x2 + 2− 2z2+-x2-+y2 >

2 2 2 2 2 2 > 2− -2-3x2--2 +2− -2-3y2--2 +2− -2--3z2--2 = 6− 3x-2+3y2-+-3z2--=3. x + y +z y + z +x z + x + y x + y +z

В итоге мы показали, что

x2-+2y2+-2z2-+ y2-+2z2+-2x2 + z2+-2x2+-2y2 >3, 2x2+ 2yz 2y2+ 2zx 2z2+ 2xy

поэтому

x2 +2y2+ 2z2 y2 +2z2+ 2x2 z2+ 2x2+ 2y2 --x2+-yz---+---y2+-zx-- +---z2+-xy-- >6.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Так как для любых чисел $x$ и $y$ верно $x2+y2 ≥ 2xy,$ то

2y2+-2z2-+x2 + 2z2+-2x2+y2 + 2x2+-2y2+z2 ≥ x2+ yz y2+ xz z2+ xy

2 2 2 ≥ x2+4yz+ y2+-4xz+ z2+4xy- x + yz y +xz z + xy

Теперь нам требуется доказать

1+ -3yz--+1 +--3xz-+ 1+ -3xy--> 6, x2+ yz y2+ xz z2+ xy

что эквивалентно

yz xz xy x2+-yz + y2+-xz + z2+xy-> 1.

Сделаем замену $yz = a,xz =b,xy = c$ , тогда неравенство перепишется как:

-a---+ acb--+ --a--> 1 bca-+a b-+ b acb+ c

--a2-- --b2-- --c2--- a2+ bc +b2+ ac + c2+ab >1

Так как $a,b,c>0,$ то

a2 b2 c2 a2+bc + b2+-ac-+ c2+-ab >

2 2 2 > -2a--- + 2-b---+ -2c---≥ a + 2bc b+ 2ac c +2ab

≥----a2--- + ---b2----+ ---c2----= 1 a2+ b2+ c2 b2+ a2+ c2 c2+ a2+ b2

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

ЮМШ до 2020

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ