Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела итмо - задания по годам
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#65464

Докажите, что не существует функции f(x)  , определённой для всех x> 1  , такой, что f(x2)=2f(x)  и f (x + 1)=f(x)+ 3.
      x

Источники: ИТМО 2017

Показать доказательство

С одной стороны,

 ( 2  1-)   ( 2)
f x + x2  =f x  + 3= 2f(x)+ 3

С другой стороны,

 (         )   ((     )2)    (     )
f x2+ 2+ 1- = f   x+ 1    =2f  x+ 1 = 2(f(x)+ 3) =2f(x)+6.
         x2          x            x

Сравнивая эти равенства, получаем, что для любого числа y  , представимого в виде  2  -1
x + x2  при x> 1  , то есть для любого y > 2  , выполняется равенство f(y+ 2)= f(y)+3  . Тогда

       ( )
2f(3)= f 32 =f(9)=f(7+ 2)=f(5+ 2)+3= f(3+ 2)+ 6= f(3)+ 9,

откуда f(3)=9  . Следовательно, f(5)=f(3)+3 =12  . С другой стороны,

2f(5)= f(25)= f(5+ 2⋅10)=f(5)+30,

откуда f(5)=30⁄= 12  . Получаем противоречие, значит, такой функции действительно не существует.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!