Тема ШВБ - задания по годам

ШВБ 2019

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела швб - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#68637

Найдите множество значений функции $y = f[2019](x)$ , где

cos2x+-2sin2x- [n] f(x)=log2 1− sin3x , f (x)=f◟(f(f◝(.◜..(f◞(x)...) nраз

для любого натурального числа $n$ .

Источники: ШВБ-2019, 11.3 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Внимательно взгляните на числитель! Расписав косинус двойного угла, становится понятно, что cos2x + 2sin²x = 1

Подсказка 2

sin3x принимает значения в промежутке [-1; 1], тогда какие значения принимает вся дробь и какие значения может принимать логарифм от такой дроби?

Подсказка 3

Если вы правильно исследовали f(x), то значения её будут в промежутке [-1; +∞). Теперь найдите множество значений f(f(x)).

Подсказка 4

Подумайте, какие значения принимает sin(3*f(x)) и что мы в таком случае мы можем сказать про множество значений f(f(x)). А про множество значений f(f(f(…f(x))))?

Показать ответ и решение

cos2x+-2sin2x- ---1--- f(x) =log2 1− sin3x = log2 1− sin 3x .

Функция $t(x)= sin3x$ принимает значения $[− 1;1]$ . Рассмотрим функцию $1 z(t) =1−t$ , определенную на полуинтервале $[−1;1)$ . Графиком этой функции является гипербола с асимптотами $t= 1$ и $z =0$ . Функция $z(t)= 11−t$ на промежутке $[−1;1)$ неограниченно возрастает. Таким образом, минимальное значение $z(t)$ равно $12$ , оно достигается в точке $t= −1$ , и функция $z(t)= 11−t-$ на промежутке $[−1;1)$ принимает все значения из промежутка $[ ) 12;+∞$ . Функция $y1(z) =log2z$ на промежутке $[ ) 12;+ ∞$ возрастает и принимает все значения из промежутка

[ ) log2 1;+∞ =[−1;+ ∞) 2

Функция $f(f(x))$ будет принимать те же значения, что и функция $f(y1)$ , если $y1 ∈[−1;+ ∞)$ . Поскольку $t(y1)= sin(3y1)$ при $y1 ∈ [− 1;+∞ )$ принимает все значения из отрезка $[− 1;1]$ , то повторяя рассуждения, приведенные выше, получаем, что множеством значения функции $f(f(x))$ является промежуток $[−1;+∞)$ . И так далее, следовательно, множеством значений функции $f[2019](x)$ является промежуток $[− 1;+ ∞).$

Ответ:

$[−1;+ ∞)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#77696

Решите неравенство

∘ ---- ∘-------2-- cosx− siny− sin y− sinx ≥1

Источники: ШВБ - 2019, 11.6 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сделаем замену u = cos(x) и v = sin(y). К какому неравенству придём и как будем его решать?

Подсказка 2

u - sqrt(v) >= sqrt(u^2 + v - 1) + 1 >= 0. Каким неравенством связаны u и v? Как будем решать предпоследнее неравенство?

Подсказка 3

Возведем обе части в квадрат! Теперь-то мы знаем, как применить связь между u и v.

Подсказка 4

Получается, что u*sqrt(v) = 0 и u^2 + v - 1 = 0. Подумаем, какие решения имеет данная система? Мы на финишной прямой!

Показать ответ и решение

Так как

∘ ---- ∘-------2-- cosx≤ 1, − siny− sin y− sin x≤ 0,

то сумма этих выражений может быть не меньше 1 только в случае равенства:

{ cosx= 1 √---- ∘ -------2-- − siny− siny− sin x= 0

{ cosx =1, sin2x =0 siny =0

{ x= 2πn,n ∈ℤ y =πk,k∈ ℤ

Ответ:

$(2πn;πk),n,k∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#88129

Найдите натуральное число, которое имеет десять натуральных делителей (включая единицу и само число), два из которых простые, а сумма всех его натуральных делителей равна 186.

Показать ответ и решение

Пусть искомое число $N$ имеет простые делители $p1$ и $p2$ . Тогда $N$ представимо в виде $α1α2 p1 p2$ при некоторых натуральных $α1$ и $α2$ . Без ограничений общности можем считать, что $α1 ≤ α2$ .

Количество натуральных делителей числа $N$ равно

τ(N )= τ(pα11pα22)= (1 +α1)(1+ α2)= 10.

При этом значения каждого из множителей не меньше 2, следовательно, $α1 +1 = 2,α2 +1 = 5$ , то есть $α1 = 1,α2 = 4$ .

Сумма всех натуральных делителей числа $N$ равна

σ(N)= σ(p1p4) =(1+ p1)(1+ p2+ ...+ p4)= 186= 2⋅3⋅31. 2 2

Если $p2 ≥3$ , то

(1+ p2+ ...+ p4)≥ 136, 2

что невозможно, т.к. $1 +p1 ≥ 3$ .

Таким образом, $p2 = 2$ , следовательно,

(1 + p2 +...+ p42)= 31,

то есть $1+ p1 = 6$ и $p1 =5$ . Наконец, $N =5 ⋅24 = 80.$

Ответ: 80

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#98983

Ксюша, Ваня и Вася решили пойти в кино. Они договорились встретиться на автобусной остановке, но не знают, кто во сколько придёт. Каждый из них может прийти в случайный момент времени с $15:00$ до $16 :00.$ Вася самый терпеливый: если он придёт и на остановке не будет ни Ксюши, ни Вани, то он будет ждать кого-нибудь из них $15$ минут, и если никого не дождётся, то пойдет в кино один. Ваня менее терпеливый: он будет ждать лишь $10$ минут. Ксюша самая нетерпеливая: она вообще не будет ждать. Однако если Ваня и Вася встретятся, то они будут ждать Ксюшу до $16:00.$ Определить вероятность того, что в кино они пойдут все вместе.

Показать ответ и решение

Так как Ксюша не будет ждать остальных, то нам подходит только тот случай, когда Ксюша придет последней. Так как время прибытия ребят — независимые события, то вероятность того, что все ребята пойдут в кино будет равна произведению вероятности, что Ксюша придет последней и вероятности того, что Ваня и Ваня встретятся.

Вероятность, что Ксюша придет последней равна

2 1 3! = 3

Вероятность, что Вася и Ваня встретятся находится геометрически. Пусть $x$ — время прибытия Васи, а $y$ — время прибытия Вани. Тогда при $0 ≤x ≤60$ и $0≤ y ≤ 60:$

{ { y ≥ x или x≥ y y− x≤ 15 x− y ≤10

Нарисуем график исходя из этой системы:

$PIC$

Следовательно, вероятность того, что Ваня и Вася встретятся, равна

2 1 2 1 2 60-−-2 ⋅45-−2-⋅50-= 107- 602 288

В итоге вероятность того, что все пойдут в кино, равна

1 107 107 3 ⋅288 = 864

Ответ:

$107 864$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#101396

При каких значениях параметра $a$ уравнение $f(x)= p(x)$ , где

||x2−-6x+-9 4x2− 5x|| f(x)=|| 3− x + x ||, p(x)= |x+ a|,

имеет одно решение?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Можно ли как-то сократить f(x)? (Не забудьте про ОДЗ!)

Подсказка 2

Попробуйте изобразить на координатной плоскости, что из себя представляют графики f(x) и p(x)? В каком случае исходное уравнение имеет только одно решение?

Подсказка 3

Да, уравнение будет иметь одно решение, если наши графики пересекаются лишь в одной точке. Учитывая то, как выглядят графики, при каких условиях они будут пересекаться лишь в одной точке?

Подсказка 4

Подумайте об "особых" точках графиков. Может, как-то помогут выколотые из-за ОДЗ точки или вершина?

Показать ответ и решение

Рассмотрим функцию $f(x)$ и преобразуем её:

ОДЗ:

{ x⁄= 3 x⁄= 0

f(x)= |3− x+ 4x− 5|= |3x − 2|

Тогда, если нарисовать наши графики с учётом ОДЗ, получится:

$PIC$

Чтобы уравнение $f(x)= p(x)$ имело одно решение, графики должны пересекаться только в одной точке. Такое возможно, когда $p(x)$ пересекает $f(x)$ в вершине или проходит через выколотые точки.

⌊ |2 | | |3 + a|= 0 ⌈ |0+a|= 2 |3+a|= 7

⌊ | a= − 23 || a =±2 |⌈ a= 4 a= −10

Ответ:

${−10,− 2,− 2,2,4} 3$