Бельчонок 2020
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все тройки попарно взаимно простых натуральных чисел 
для которых 
делится на 
для
всех натуральных 
Источники:
Подсказка 1
Сумму n-ых степеней a, b и c стоит попробовать выразить через n-ую степень суммы a+b+c. В связи с этим было бы удобно рассмотреть выражение A(n), которое равно сумме n-ых степеней a, b и c. Можно ли найти связь между A(n), A(n-1) и, возможно, другими A(j) (для некоторых j)?
Подсказка 2
Для A(2) получаем A(2) = A²(1) - 2(ab + bc + ca), при этом A(2) делится на a+b+c если и только если 2(ab + bc + ac) делится на A(1). А какое выражение через A(1) и A(2) получится, скажем, для A(3)?
Подсказка 3
Верно! Получится A(3) = A(1)A(2) - (ab + bc + ac)A(1) + 3abc. Тогда A(3) делится на A(1) тогда и только тогда, когда 3abc делится на A(1). А какое выражение будет для случая произвольного n > 3?
Подсказка 4
Конечно! A(n) = A(1)A(n-1) - (ab+bc+ac)A(n-2) + abcA(n-3). В каких случаях A(n) делится на A(1)?
Подсказка 5
Точно! Необходимо и достаточно, чтобы A(1) было делителем A(2) и A(3). А это верно ровно в тех случаях, которые мы заметили в прошлых подсказках! Тогда нужно найти тройки (a,b,c), обладающие двумя свойствами. Как это сделать?
Подсказка 6
Сначала попробуем исследовать свойства подходящих троек. Напомним, нам необходимо, чтобы 3abc и 2(ab+bc+ac) делились на a+b+c. Может ли тогда a+b+c обладать простым делителем, большим 3?
Подсказка 7
Верно, не может, иначе abc делится на p, поэтому хотя бы одно из чисел a,b,c делится на p (и на самом деле ровно одно в силу взаимной простоты!). Тогда ab+bc+ca не делится на a+b+c! Следовательно, все простые делители a+b+c — это 2 или 3. А может ли a+b+c делиться на 9?
Подсказка 8
Верно, не может, ведь тогда (снова из-за взаимной простоты) ровно одно из чисел a, b, c делится на 3, а потому ab+bc+ca не делится на a+b+c. Рассуждая аналогично, легко прийти к тому, что a+b+c и на 4 не делится. Осталось перебрать всего несколько вариантов чисел a+b+c!
Обозначим 
Заметим, что 
и 
делится на 
тогда и только тогда, когда
делится на 
(*)
Аналогично 
и делится на 
тогда и только тогда, когда 
делится на 
(**)
Запишем соотношение для 
:
Отсюда видно, что если 
— делитель 
то 
— делитель 
если 
— делитель 
и 
то 
— делитель 
, 
и
так далее, то есть делитель 
для любого натурального 
Будем искать упорядоченные тройки ( 
), для которых выполняются условия (*) и (**), то есть 
и 
делятся на
Пусть 
имеет простой делитель 
Тогда 
делится на 
, и в силу взаимной простоты ровно одно из чисел
делится на 
. Но тогда 
не может делиться на 
, и значит, на 
. Пусть 
делится на 
, тогда 
делится на 
и в силу взаимной простоты ровно одно из чисел 
делится на 
тогда 
не может делиться
на 
и значит, на 
. Пусть 
делится на 
, тогда 
делится на 
и ровно одно из чисел 
,
делится на 
тогда 
нечётное и 
не может делиться на 
Следовательно, 
имеет вид
где 
и 
принимают значения 
или 
при этом 
откуда 
Подходят тройки
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
