НадЭн до 2020

1) Рассмотрим случаи. При получаем уравнение:

откуда , то есть , .

2) При получаем уравнение:

При решений нет. При подстановке получаем решения , , , . При будет выполнено, что и тогда решений не будет.

Доказать, что легко по индукции. База индукции проверяется подстановкой .

Шаг индукции доказывается тем, что если то

так как при .

3) При сначала рассмотрим случай . Тогда имеем уравнение

которое не имеет решений, так как

(неравенство легко доказать по индукции)

Иначе . Тогда

(в последнем переходе снова используем неравенство )

При неравенство

можно проверить вручную, а при сослаться на доказанное нами неравенство

В итоге, воспользовавшись доказанным и неравенством между средними, получаем:

То есть при решений нет, так как