Иннополис 2025

Докажем, что для любого целого ( и любого целого найдется целое для которого десятичная запись числа начинается с последовательно записанных цифр числа — иными словами, найдутся такие целые положительные что

Прологарифмируем последнее двойное неравенство с основанием

Докажем, что иррационально: если это не так, то для некоторых целых положительных взаимно простых тогда что невозможно. Итак, иррационально.

Для завершения решения задачи можно доказать, что для любого иррационального и любого выбранного интервала найдутся такие целые положительные что

Заметим, что для любого целого можно выбрать такое целое что Пусть т.е. отрезок можно разбить на равных отрезков, длина каждого из которых будет меньше длины интервала Рассмотрим бесконечный набор чисел и выберем из него два числа попадающие в один и тот же из упомянутых отрезков — пусть это числа и (без ограничения общности будем считать, что первое меньше второго). Тогда

Для найденного рассмотрим числа — ввиду среди них найдется число, лежащее на интервале что и требовалось доказать.

Осталось заметить, что в условиях нашей задачи — иррациональное положительное число; — положительный интервал (если то в качестве можно выбрать любое число из интервала Итак, найдутся такие целые положительные что т.е. десятичная запись числа будет начинаться с цифр числа