ММО 2025
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике 
с прямым углом 
провели высоту 
Окружность, проходящая через точки 
и 
повторно пересекает
отрезки 
и 
в точках 
и 
соответственно. Отрезки 
и 
пересекаются в точке 
Что больше: площадь
треугольника 
или сумма площадей треугольников 
и 
?
Источники:
Подсказка 1
Какие мы знаем стандартные методы для сравнения площадей?
Подсказка 2
Удобно сравнивать площади треугольников с общим основанием, давайте добавим к нашим треугольникам какую-то одинаковую часть.
Подсказка 3
Обратите внимание на треугольник TPR.
Подсказка 4
У нас есть окружность и много прямых углов. На что это намекает?
Подсказка 5
Нетрудно найти на картинке диаметр проведённой окружности. Отметьте прямые углы.
Подсказка 6
Для того, чтобы задача стала совсем простой, нужно провести ещё несколько перпендикуляров. Опустим высоты из точки H на прямые CQ и PR.
Первое решение.
Добавим к рассматриваемым площадям площадь треугольника 
Получим, что нужно сравнить
Поскольку 
то 
— диаметр проведённой окружности, откуда 
В четырёхугольнике 
три
угла прямые, поэтому он является прямоугольником. Опустим из точки 
перпендикуляры 
и 
на прямые 
и 
соответственно. Сумма их длин равна длине стороны 
прямоугольника. Следовательно,
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение.
Добавим к рассматриваемым площадям площадь четырёхугольника 
Получим, что нужно сравнить
Из вписанности 
следует, что 
Поскольку 
— диаметр окружности, то 
поэтому
Каждый из углов 
и 
дополняет угол 
до 
поэтому
Следовательно, треугольники 
и 
подобны по двум углам. Тогда площади этих треугольников относятся как
квадраты коэффициентов подобия, поэтому
Они равны
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
