Регион 2025
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны квадратные трёхчлены 
и 
обозначим 
и 
Раз в минуту Саша рисует на координатной плоскости
прямую: на первой минуте — прямую с уравнением 
на второй — с уравнением 
…, на 
-й минуте — с уравнением
Через некоторое время Саша нашёл три нарисованные прямые, которые проходят через одну точку. Докажите, что все
нарисованные прямые проходят через одну точку.
Источники:
Подсказка 1:
Давайте возьмём какие-то две прямые, проведенный на k-й и m-й минутах, которые пересеклись. Что можно сказать про абсциссу точки пересечения? Получится ли как-нибудь выразить её через k, m и коэффициенты трёхчленов?
Подсказка 2:
Пусть теперь есть три прямые: k-я, m₁ и m₂. Значит, эту абсциссу можно выразить как через m₁, так и через m₂. Попробуйте приравнять их.
Подсказка 3:
Если вы сделали всё правильно, то должны были получить равенство (k + m₁)(ub − av)=(k + m₂)(ub − av), где a, b — коэффициенты при второй и первой степенях соотвественно у P, и u, v — у Q.
Пусть 
а 
Пусть прямые, нарисованные на 
-й и 
-й минутах, пересекаются в точке с абсциссой 
(причём 
). Это значит, что
или
если 
Пусть теперь прямые, нарисованные на 
-й, 
-й и 
-й минутах пересекаются в одной точке. Заметим, что квадратный
трёхчлен 
принимает каждое значение не более двух раз, поэтому в множестве 
есть хотя бы два
раличных значения. Без ограничений общности будет считать, что 
Тогда полученная формула означает,
что
Домножив на знаменатели и сократив подобные слагаемые, получаем
что при 
означает, что 
Таким образом, равенство выше верно вообще для всех значений 
и 
а значит, и
равенство (**) будет выполнено для всевозможных значений 
и 
что и означает, что прямые, нарисованные в произвольные
моменты 
и 
пересекают 
-ю прямую в одной и той же точке.
Рассуждение выше может не сработать только для момента 
когда 
Но, поскольку нам уже известно, что все остальные
прямые пересекаются в одной точке, можно теперь провести такое же рассуждение для других трёх моментов, установив
требуемое.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
