Регион 2025
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Положительные числа 
таковы, что 
и 
Докажите, что из чисел 
какие-то два
отличаются более чем на 2.
Источники:
Подсказка 1:
Обратите внимание на слагаемые из левой части равенств? Они вам не встречались ни в каких известных разложениях?
Подсказка 2:
Рассмотрите выражение (a − b)(b − c)(c − a). Кажется, вы можете вычислить его значение.
Подсказка 3:
Пусть, не умаляя общности, c — наибольшее. Кажется, вы сможете упорядочить все три числа. Давайте заметим, что задача свелась к доказательству того, что c − a > 2.
Подсказка 4:
Давайте для удобства обозначим c − a = z, x = b − a, y = c − b. Используя равенство xyz = 2, нужно показать, что z > 2. А есть ли ещё какая-то связь между x, y и z?
Подсказка 5:
Давайте заметим, что x + y = z. Значит, можно оценить xy сверху, используя неравенство о средних. Не забывайте, что нас интересует строгая оценка z > 2.
Вычтем из второго равенства первое и разложим левую часть на множители, получим:
Не умаляя общности (в условии имеется циклическая симметрия переменных 
), будем считать, что 
—– наибольшее из данных
чисел. Тогда 
но из (*) видим, что 
Значит, 
Аналогично 
Тогда из (*) следует 
Получается 
Обозначим 
так что 
тогда (*) принимает вид 
Нам нужно доказать,
что 
Заметим, что 
так как это неравенство преобразуется к виду 
(или следует из неравенства о среднем
арифметическом и среднем геометрическом). Отсюда 
и далее
Получаем 
откуда 
и поэтому 
Остаётся показать, что 
невозможно. Если 
то 
и тогда в предыдущем рассуждении мы получим строгое
неравенство 
Значит, 
возможно лишь при 
Рассмотрим этот случай отдельно.
В этом случае 
и 
Тогда
что противоречит первому равенству из условия задачи.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
