Регион 2025

Вычислим площадь лежащего на параболе, через абсциссы его вершин. Без ограничения общности можем считать, что абсциссы соответственно равны Пусть — проекции точек на ось Тогда площадь треугольника выражается через площади трапеций:

По формуле площади трапеции:

Аналогично:

Подставляя и преобразуя, получаем:

Для точек на той же параболе с абсциссами разности сохраняются: Следовательно, тогда

Положим Упорядочим абсциссы отмеченных точек по возрастанию:

Рассмотрим отрезков Если среди них найдутся 5 отрезков равной длины, то утверждение задачи верно.

Упорядочим эти 5 отрезков по возрастанию левых концов: Возьмём точки:

где — общая длина отрезков. Ранее доказано, что Все точки различны, так как

Предположим теперь, что среди отрезков нет пяти равной длины. Тогда для каждой длины имеется не более четырёх отрезков длины Тогда минимальная сумма длин всех отрезков не менее:

Но сумма длин всех отрезков равна Противоречие.

Следовательно, обязательно существуют пять отрезков равной длины, и по доказанному можно выбрать шесть точек с равными площадями треугольников.