Тема Закл (финал) 9 класс

Закл 2019

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела закл (финал) 9 класс

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#75241Максимум баллов за задание: 7

При каком наименьшем натуральном $n$ существуют такие целые $a ,a,...,a , 1 2 n$ что квадратный трехчлен

2 2 4 4 4 x − 2(a1+ a2 +...+ an)x +(a1+a2+ ...+ an+ 1)

имеет хотя бы один целый корень?

Источники: Всеросс., 2019, ЗЭ, 9.2(см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

При $n= 6$ можно положить $a =a =a = a = 1 2 3 4$ $= 1$ и $a = a = −1 5 6$ ; тогда трёхчлен из условия принимает вид $x2− 8x+ 7$ и имеет два целых корня: $1$ и $7.$ Осталось показать, что это — наименьшее возможное значение $n.$

Пусть числа $a1,a2,...,an$ удовлетворяют условию задачи; тогда делённый на $4$ дискриминант квадратного трёхчлена из условия должен быть полным квадратом. Он равен

4 ( ) d= (a1+ a2+ ...+ an) − a41 +a42+ ...+ a4n+ 1

Тогда число $d$ нечётно и является квадратом, поэтому оно даёт остаток $1$ при делении на $8.$

Перепишем равенство выше в виде

4 d+1 +a41+ a42+...+a4n =(a1+ a2 +...+ an)

и рассмотрим его по модулю $8.$ Нетрудно проверить, что четвёртые степени целых чисел дают лишь остатки $0$ и $1$ при делении на $8,$ то есть правая часть равенства даёт остаток $0$ или $1.$ Левая же часть сравнима с $1+ 1+ k,$ где $k$ — количество нечётных чисел среди $ai.$ Значит, $n≥ k≥ 6.$

Ответ:

При $n= 6$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#94015Максимум баллов за задание: 7

Окружность $Ω$ с центром в точке $O$ описана около остроугольного треугольника $ABC,$ в котором $AB <BC;$ его высоты пересекаются в точке $H.$ На продолжении отрезка $BO$ за точку $O$ отмечена точка $D$ такая, что $∠ADC =∠ABC.$ Прямая, проходящая через точку $H$ параллельно прямой $BO,$ пересекает меньшую дугу $AC$ окружности $Ω$ в точке $E.$ Докажите, что $BH = DE.$

Источники: Всеросс., 2019, ЗЭ, 9.3(см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В четырехугольнике BDEH должны быть равны противоположные стороны, а еще BD||HE, тогда просят доказать, что BDEH - равнобокая трапеция. Представьте, что это правда, что вы можете из этого понять на чертеже?

Подсказка 2

Отметьте вершину диаметрально-противоположную B, середину стороны AC. Рассмотрите симметрию относительно точки M. Найдите какие-нибудь вписанности.

Подсказка 3

Докажите, что AHE’D вписанный четырехугольник. Воспользовавшись этой окружностью и окружностью (ABC), посчитайте углы и докажите, что BDEH - равнобокая трапеция.

Показать доказательство

Пусть $P$ — вторая точка пересечения $BO$ с окружностью $Ω.$ Тогда $BP$ — диаметр $Ω,$ и $∠BCP = 90∘ = ∠BAP.$ Значит, $CP || AH$ и $AP || CH.$ Следовательно, четырёхугольник $AHCP$ — параллелограмм. Обозначим через $M$ точку пересечения его диагоналей. Она является серединой отрезков $P H$ и $AC.$

$PIC$

При симметрии относительно точки $M$ точка $A$ переходит в точку $C,$ а точка $P$ — в точку $H.$ Пусть при этой симметрии точка $E$ переходит в $E′,$ а окружность $Ω$ — в $Ω′.$ Тогда точки $A,H,E ′$ и $C$ лежат на $Ω ′.$ Поскольку $∠ADC = ∠ABC = 180∘− ∠AHC.$ точка $D$ также лежит на $Ω′.$

В силу симметрии, $∠ECP =∠E ′AH,$ а также $P E′ ∥ HE$ — поэтому точка $E′$ лежит на прямой $PB.$ Из вписанности четырёхугольников $AHE ′D$ и $BEP C$ получаем, что $∠EBP = ∠ECP = ∠E′AH = ∠E′DH.$ Таким образом, $∠EBD = ∠BDH.$ Это означает, что трапеция $BHED$ — равнобокая, поэтому $BH = DE.$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания