Тема Закл (финал) 9 класс

Закл 2015

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела закл (финал) 9 класс

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#70312Максимум баллов за задание: 7

Остроугольный треугольник $ABC (AB < AC )$ вписан в окружность $Ω$ . Пусть $M$ - точка пересечения его медиан, а $AH$ - высота этого треугольника. Луч $MH$ пересекает $Ω$ в точке $′ A$ . Докажите, что окружность, описанная около треугольника $′ AHB$ , касается $AB$ .

Источники: Всеросс., 2015, ЗЭ, 9.7(см. olympiads.mccme.ru)

Показать доказательство

Проведем серединный перпендикуляр к $BC.$ Пусть он пересекает луч $HM$ в точке $P$ , а $BC$ в точке $F$ . Тогда $HM :MP = AM :MF =2 :1;$

Также проведем прямую, параллельную $BC$ , через точку $P$ . Пусть она пересекает $AH$ в точке $T$ , а $′ M$ — проекция точки $M$ на $AH$ . Тогда $′ ′ HM :M T = 1:2$ и $′ ′ HM :M A= 2:4$ . Следовательно $T$ — середина $AH$ .

$PIC$

Отметим точку $A1$ такую, что $HP = PA1$ . Тогда $AA1||BC$ в силу подобия треугольников $HP T$ и $HAA1$ . Кроме того, проецируя $A1$ на $BC$ получаем $HF = FS =⇒ BH = SC$ . Следовательно, $△ABH = △A1SC$ по двум катетам. А значит, $ABCA1$ — равнобедренная трапеция и $A1$ лежит на окружности, описанной около $△ABC.$

$∠ABC = ∠BCA1$ и $∠BCA1 = ∠BA ′H.$ Следовательно, $AB$ — касательная к окружности, описанной около треугольника $A′HB.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#75442Максимум баллов за задание: 7

Числа $a$ и $b$ таковы, что каждый из двух квадратных трёхчленов $x2+ ax+b$ и $x2+ bx+a$ имеет по два различных корня, а произведение этих трёхчленов имеет ровно три различных корня. Найдите все возможные значения суммы этих трёх корней.

Источники: Всеросс., 2015, ЗЭ, 9.1(см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомним теорему Безу или то, что ax²+bx+c = a(x-x₁)(x-x₂), x₁, x₂ - корни квадратного трёхчлена. А в таком виде уже очевидно, как произведение исходных 2-ух квадратных трёхчленов может иметь 3 различных корня.

Подсказка 2

Верно, у них должен быть общий корень. Вспомним такой факт, что если P₁(x₀) = 0 и P₂(x₀) = 0, то и c*P₁(x₀) + d*P₂(x₀) = c*0 + d*0 = 0 для всех c, d и кв. трёхчленов P₁(x), P₂(x). Может быть, у нас получится найти такие c, d, которые дадут нам дополнительную информацию про общий корень?

Подсказка 3

Полезно взять c = 1, d = -1, потому как тогда уйдёт x².

Подсказка 4

Ура, мы поняли, что они имеют общий корень: 1, а не пора ли применять Виета?)

Подсказка 5

Из Виета мы поняли, что первый трёхчлен имеет корень b, а второй: a. Получается, что нам нужно найти 1 + a + b, а оно уж очень похоже на x² + ax + b, что нам остаётся сделать, чтобы решить задачу?

Показать ответ и решение

Если каждый трёхчлен имеет два различных корня, а их произведение — три различных, то эти трёхчлены имеют ровно один общий корень. Значит, его имеет их разность $(a− b)x− (a − b)$ . Отметим, что $a ⁄=b$ иначе трёхчлены совпадут, равно как и их оба корня. Таким образом, их общий корень равен $1$ . При подстановке в оба трёхчлена получим $a+ b+ 1= 0$ . Также по теореме Виета понятно, что первый трёхчлен имеет корень $b$ , а второй — $a$ , тогда искомая сумма равна $a+ b+ 1= 0$ .