Закл 2024
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
и 
— различные простые числа. Дана бесконечная убывающая арифметическая прогрессия, в которой встречается каждое из
чисел 
и 
Докажите, что в этой прогрессии обязательно встретятся числа 
и 
Источники:
Подсказка 1:
Начнем с того, что в прогрессии могут быть и нецелые числа. Подумайте, можно ли от них как-то избавиться?
Подсказка 2:
Если и есть нецелые числа, то они рациональные. Попробуйте обосновать, что если вычеркнуть из прогрессии все нецелые числа, то оставшиеся тоже образуют арифметическую прогрессию.
Подсказка 3:
Сформулируем несколько утверждений, которые помогут решить задачу. Во-первых, если в целочисленной арифметической прогрессии есть два числа a и b, то a − b кратно d. Во-вторых, если в прогрессии с разностью d есть a, то b ей будет принадлежать тогда и только тогда, когда a − b кратно d.
Подсказка 4:
Значит, d является делителем p²⁴ − p²³. Нужно, чтобы оно также делило p²³ − p. Чтобы было проще, подумайте, может ли d делиться на p?
Вычеркнем все нецелые числа из прогрессии (если они есть). Ясно, что после вычёркивания остаётся бесконечная убывающая
арифметическая прогрессия, состоящая из целых чисел. Пусть её разность равна — 
Заметим, что 
делится на 
значит, 
не делится на 
иначе 
должно будет делиться на 
что неверно. С другой
стороны, 
должно являться делителем числа
Поскольку 
и 
взаимно просты, 
делится на 
Далее, 
делится на 
поскольку оно равно
Поэтому 
делится на 
и, поскольку 
получаем, что 
лежит в нашей прогрессии. Аналогично, 
лежит в этой
прогрессии.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
