Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела закл (финал) 10 класс
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#75131

Многочлен P(x)=x3 +ax2+ bx +c  имеет три различных действительных корня, а многочлен P(Q (x)),  где Q (x)= x2+ x+ 2001,  действительных корней не имеет. Докажите, что P(2001)> 1∕64.

Источники: Всеросс., 2001, ЗЭ, 10.5(см. math.ru)

Показать доказательство

По условию P(x)= (x− x)(x− x )(x− x ),
          1     2     3  следовательно,

P(Q (x))= (Q (x)− x1)(Q(x)− x2)(Q(x)− x3)

где Q (x)− xi ⁄= 0,i= 1,2,3.

Пусть D
 i  — дискриминанта квадратного трехчлена Q(x)− x
      i  при i∈ {1,2,3,4}.  Тогда D = 1− 4(2001− x)< 0.
 i             i  Перемножив полученные неравенства 2001 − x > 1,
      i  4  получаем P(2001)= (2001− x )(2001− x )(2001 − x )> 1-.
              1        2       3   64

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!