Закл до 2015
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел оказалась кубом натурального числа. Докажите, что среднее из этих трёх чисел
делится на 
Источники:
Подсказка 1
Необходимо показать, что если для некоторых натуральных чисел x, y верно (x−1)³+x³+(x+1)³=y³, то x кратно 4. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые.
Подсказка 2
Мы получили, что 3(x²+2)=y³. Как можно воспользоваться тем, что y кратно 3?
Подсказка 3
Пусть y=3z. Тогда имеем, x(x²+2)=9z³. Что можно сказать о числе НОД(x, x²+2)?
Подсказка 4
Он равен 1 или 2. Если он равен 1, то что можно сказать про произвольное простое число p, отличное от 3, делящее z?
Подсказка 5
Оно делит ровно одно из чисел x и x²+2, причем входит в него в степени, кратной 3. Тогда x =9u³ и x²+2=v³, либо x =u³, x²+2 =9v³ при некоторых натуральных u,v. Докажите, что каждый из этих случаев невозможен.
Подсказка 6
Осталось разобрать случай НОД(x, x²+2). Почему при этом x кратно 4?
Пусть среднее из последовательных чисел равно 
Тогда для некоторого натурального 
верно уравнение
что экививалентно
Таким образом, 
делится на 
следовательно, 
для некоторого натурального 
Уравнение теперь имеет
вид
Очевидно, что 
Пусть 
Тогда либо 
и 
либо 
при
некоторых натуральных 
В первом случае 
что невозможно, так как куб целого числа при делении на 
даёт
остаток 
или 
Аналогично второе равенство влечёт, что 
что невозможно по тем же причинам. Итак,
Тогда 
(и, следовательно, 
) чётно, поэтому 
делится на 
Поскольку 
не
делится на 
получаем, что 
делится на 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
