Закл до 2015
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В таблице 
расставлены положительные числа так, что в каждом из 
столбцов сумма двух чисел равна 
Докажите, что можно
вычеркнуть по одному числу в каждом столбце так, чтобы в каждой строке сумма оставшихся чисел не превосходила
Источники:
Подсказка 1
Первым делом давайте упорядочим числа в верхней строке по возрастанию. Ясно, что числа под ними тогда убывают. Что же если сумма чисел в верхней строке меньше либо равна (n+1)/4, то можем зачеркнуть все числа из нижней. Однако могло так и не повезти, какие числа тогда естественно попробовать оставить в верхней строке?
Подсказка 2
В таком случае найдётся k, для которого сумма чисел, меньших k-ого по величине меньше (n+1)/4. Ясно, что нам нужно оставить в верхней строке числа с как можно большей суммой, потому логично попробовать найти максимальное такое k и зачеркнуть в верхней строке все числа, начиная с k-ого по величине.
Подсказка 3
Осталось оценить сумму чисел в нижней строке под вычеркнутыми сверху - это n+1-k наименьших чисел нижней строки. В силу выбора k можем оценить k-ое по величине число сверху, оно хотя бы (n+1)/4k, а отсюда можно оценить и числа под зачёркнутыми как (1-(n+1)/4k). Так, умножив оценку одного числа на их количество, получаем оценку и на сумму незачёркнутых чисел в нижней строке.
Пусть в верхней строке стоят числа 
Можно считать, что 
стоит в 
ом столбце и 
(этого можно
достигнуть перестановкой столбцов). Тогда в нижней строке соответственно стоят числа 
Легко видеть, что
Если 
то можно вычеркнуть все числа нижней строки. В противном случае найдем наименьшее
такое 
что 
Вычеркнем из верхней строки все числа 
а из нижней — числа 
Тогда имеем
Заметим, что 
(в силу выбора 
Тогда
Заметим, что
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
