Закл 2024
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Четырёхугольник 
в котором нет параллельных сторон, вписан в окружность 
Через вершину 
проведена прямая 
через вершину 
— прямая 
через вершину 
— прямая 
через вершину 
— прямая 
Четырёхугольник,
последовательные стороны которого лежат на этих четырёх прямых (именно в этом порядке), вписан в окружность 
Окружности 
и 
пересекаются в точках 
и 
Докажите, что прямые 
и 
пересекаются в одной
точке.
Источники:
Подсказка 1.
Если в задачах с окружностями требуется доказать, что 3 прямые пересекаются в одной точке, часто помогает найти 3 окружности, радикальными осями которых являются эти прямые. К тому же в нашей задаче EF определяется как радикальная ось каких-то окружностей.
Первое решение. Без ограничения общности можно считать, что лучи 
и 
и 
пересекаются. Пусть отрезки 
и
пересекаются в точке 
а также 
— четырёхугольник, образованный прямыми 
Также обозначим через
пересечение 
и 
через 
— пересечение 
и 
Пусть 
Из вписанности четырёхугольника 
и условий 
имеем:
Значит, во-первых, точки 
лежат на одной окружности, обозначим её 
во-вторых, точки 
лежат на
одной окружности, обозначим её 
в-третьих, точки 
лежат на одной окружности, обозначим её 
Заметим, что точка
— радикальный центр окружностей 
(поскольку она лежит на прямых 
и 
точка 
— радикальный центр
окружностей 
(так как она лежит на прямых 
и 
Таким образом, 
— радикальная ось окружностей 
и 
—радикальная ось окружностей 
и 
— радикальная ось окружностей 
и 
поэтому эти три прямые пересекаются в
одной точке, что и требовалось доказать.
.png)
Второе решение. Введём обозначения как в первом решении. Для точки плоскости 
обозначим через 
разность степеней точки
относительно окружностей 
и 
Поскольку 
— радикальная ось окружностей 
и 
то достаточно доказать, что 
Кроме того, легко видеть, что 
и 
Заметим, что функция 
— линейная, то есть для точки 
на отрезке 
выполнено равенство
Мы докажем это утверждение позднее. Пока, применив его для точек 
мы получим, что
Таким образом, достаточно доказать, что 
Заметим, что
(последнее равенство следует из того, что 
через 
мы обозначаем расстояние от точки 
до прямой 
Следовательно, равенство (
) переписывается в виде:
Из вписанности четырёхугольника 
и данных в условии параллельностей прямых следуют равенства углов:
Таким образом, 
и 
а также 
и 
подобны по двум углам. Из подобия получаем равенства
отношений
остаётся лишь перемножить эти равенства.
.png)
Вернёмся к доказательству линейности функции 
Введём декартовы координаты таким образом, чтобы центры окружностей 
и 
лежали на оси абсцисс, пусть их координаты будут 
и 
а радиусы окружностей 
и 
Тогда для произвольной точки
с координатами 
по определению степени точки мы получаем, что
где 
и 
— две константы. Если точка 
лежит на отрезке 
и 
, 
— координаты точек 
и 
по оси абсцисс, то
откуда немедленно следует (*).
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
