Закл 2023

Обозначим точки пересечения прямой с прямыми и через и соответственно (см. рисунок). Пусть прямые и повторно пересекают в точках и соответственно. Обозначим

тогда из суммы углов треугольника Поскольку имеем Так как четырехугольник — вписанный,

Таким образом,

поэтому четырёхугольник — вписанный. Следовательно, откуда следует, что точки лежат на окружности построенной на отрезке как на диаметре.

Теперь заметим, что

Однако из вписанности четырехугольника мы получаем, что

Следовательно, точки и лежат на одной прямой. Аналогично, точки и лежат на одной прямой.

В силу сказанного выше и вписанности четырёхугольника имеем, что

поэтому Поскольку четырёхугольник вписанный,

Значит, четырёхугольник вписанный. Тогда радикальные оси его описанной окружности, окружности и окружности пересекаются в одной точке, а это прямые и Следовательно, точка лежит на прямой что и требовалось доказать.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. Приведём другой способ закончить решение. После того, как установлено, что точки и лежат на одной прямой, и точки и лежат на одной прямой. Обозначим через середину дуги Пусть прямая повторно пересекает окружность в точке Заметим, что

Следовательно, — биссектриса угла поэтому на прямой лежит точка Аналогично, она лежит на прямой Применяя теорему Паскаля для точек мы получаем, что точка точка и точка пересечения и лежат на одной прямой. Следовательно, прямые и Т пересекаются в одной точке, то есть точка лежит на Теперь применяем теорему Паскаля для точек и получаем, что точки и вместе с точкой пересечения и лежат на одной прямой. Значит, точка лежит на что и требовалось.