Закл 2023
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Плоскость 
пересекает рёбра 
и 
тетраэдра 
в точках 
и 
соответственно. Оказалось, что точки
и 
лежат на окружности 
построенной на отрезке 
как на диаметре. Точка 
отмечена в плоскости 
так, что прямые
и 
касаются окружности 
Докажите, что середины рёбер 
и точка 
лежат в одной
плоскости.
Источники:
Из условия задачи мы сразу получаем, что
Обозначим через 
точку пересечения прямых 
и 
через 
— точку пересечения прямых 
и 
(см. первый
рисунок). Без ограничения общности можно считать, что точка 
лежит на отрезках 
и 
Поскольку точка 
лежит и в плоскости 
и в плоскости 
то она лежит на прямой 
Аналогично, точка 
лежит на прямой
.png)
Замечим, что 
и 
— высоты треугольника 
Тогда 
— точка пересечения высот этого треугольника, и поэтому
Пусть 
— середина отрезка 
Поскольку 
то 
по свойству медианы прямоугольного
треугольника. Значит,
Следовательно, прямая 
касается окружности 
Аналогично, прямая 
тоже касается окружности 
поэтому точки 
и
совпадают.
 (Edited).png)
Рассмотрим две параллельные плоскости 
и 
одна из которых содержит отрезок 
а другая — отрезок 
Заметим, что
середины всех отрезков, соединяющих точку из плоскости 
и точку из плоскости 
лежат в одной плоскости, параллельной 
и 
Действительно, если ввести декартовы координаты так, что одна из плоскостей задаётся уравнением 
а другая — уравнением 
(где 
есть расстояние между плоскостями 
и 
), то середины всех рассматриваемых отрезков лежат в плоскости 
Применяя
это наблюдение для отрезков 
мы получаем, что их середины лежат в одной плоскости, что и
требовалось.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
