Закл 2023

Многочлен называется целозначным, если — целое число при любом целом Нам надо доказать, что, если многочлены и целозначны, причём степень равна то старший коэффициент многочлена — целый.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Лемма. Пусть — целозначный многочлен степени Тогда все коэффициенты многочлена целые.

Доказательство. Рассмотрим многочлен

Его степень не больше и его значения совпадают с соответствующими значениями в точках Это означает, что многочлен имеет степень не выше а также обнуляется в точке. Поэтому он нулевой, то есть (Формула выше — это частный случай интерполяционной формулы Лагранжа.)

Осталось заметить, что в формуле выше в -м слагаемом знаменатель равен это число делит поскольку

Значит, при умножении каждого слагаемого на получается многочлен с целыми коэффициентами.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Перейдём к решению задачи. Индукция по База при тривиальна. Для перехода индукции рассмотрим бицелозначный многочлен степени пусть его старший коэффициент равен

Если не является простым числом, то

Заметим, что многочлен также бицелозначный, имеет степень и старший коэффициент По предположению индукции, число

является целым, что и требовалось доказать.

Пусть теперь — простое число; тогда

и то же рассуждение даёт, что число является целым. Предположим, что — нецелое число; тогда знаменатель числа (в несократимой записи) делится на простое число

Заметим, что сумма всех коэффициентов многочлена — это целое число Поскольку знаменатель числа делится на среди коэффициентов многочлена найдётся ещё один, у которого знаменатель делится на пусть это коэффициент при Заметим, что так как число целое.

Но тогда у целозначного многочлена коэффициент при равен и также имеет знаменатель, кратный Поскольку — простое число, отсюда вытекает, что коэффициент при у многочлена нецелый, что противоречит лемме.