Регион 2024

Первое решение. Заметим, что числа и получаются друг из друга перестановкой цифр.

Пусть теперь

Положим

Заметим тогда, что

Иначе говоря, десятичная запись числа состоит из блоков и (дважды), разделённых нулями; у числа же эти блоки суть и (дважды). Поскольку блоки и отличаются перестановкой цифр, а блоки и одинаковы в обоих записях. Также количества разделяющих нулей в обоих случаях одинаковы, получаем, что число удовлетворяет требованиям.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Предположим, что нам удалось найти такое число (возможно, с ведущим нулём), что набор цифр в десятичной записи числа отличается от набора цифр в десятичной записи числа выкидыванием цифры и добавлением цифры (иначе говоря, если к числу приписать единицу, а к — четвёрку, то полученные числа отличаются перестановкой цифр). Тогда в качестве числа можно выбрать (где и больше количества цифр в числе ). Действительно, имеем

и мы опять видим, что эти числа состоят из блоков и разделённых нулями, а блоки получаются друг из друга перестановкой цифр (по условию на и и так как одинаково в обоих случаях).

Осталось найти такое число Если, например, потребовать, чтобы запись числа получалась из записи числа циклическим сдвигом и заменой 4 на 1, то такое число нетрудно найти, выписывая его цифры с конца. Подойдет, например, пара