Регион 2022

Подсказка 1:

P(x) — многочлен всего лишь второй степени. В таких случаях бывает очень полезно записать многочлен в общем виде, ведь тогда можно будет что-нибудь подставить и посмотреть наглядно, что происходит.

Подсказка 2:

Пусть P(x) = kx² + mx + n. При этом мы знаем, что P(a) − P(b) = s², где s ∈ ℕ. Подставим же в явном виде и попробуем преобразовать, вдруг что-то получиться? Не забывайте, что в преобразованиях часто бывают полезны формулы сокращённого умножения.

Подсказка 3:

Понятно, в каком направлении мы хотим преобразовывать, мы хотим разложить на скобки, ведь в терминах множителей работать с квадратами гораздо проще. Итого P(a) − P(b) = (a − b)(k(a + b) + m) = s². Теперь мы хотим научиться строить пары (c, d) с таким же свойством...

Подсказка 4:

Константа миллион взята с неба, поэтому пусть она не туманит наше сознание, будем доказывать, что таких пар бесконечно много. Предположим, что мы нашли такую пару (c, d). Пусть c + d = x(a + b) + y (деление с остатком). Подставим (c, d) в P(c) − P(d).

Подсказка 5:

Получаем (с − d)(kx(a + b) + m + ky) = t², где t ∈ ℕ. Можно ли адекватно понять, как изменились делители числа kx(a + b) + m + ky в сравнении с k(a + b) + m при нетривиальных значениях x и y?

Подсказка 6:

В общем виде уж точно нет! Поэтому нужно минимизировать влияние x и y на эту сумму. При каких x и y это "влияние" минимально или отсутствует вовсе?

Подсказка 7:

Разумеется, при (x, y) = (1, 0). То есть, для поиска адекватных пар (c, d) идея искать пары c + d = a + b очень даже полезна, ведь мы тогда знаем гораздо больше про то, как себя ведут множители (скобки). С суммой вроде бы определились, что же происходит с разностью?

Подсказка 8:

Осознайте, что если с + d = a + b, то с = a + z, d = b − z для z ∈ ℕ. Тогда c − d = a − b + 2z. Подставим эти значения в P(c) − P(d).

Подсказка 9:

P(c) − P(d) = (a − b + 2z)(k(a + b) + m). Снова поделим с остатком a − b + 2z = v(a − b) + u. То есть хотим, чтоб (v(a − b) + u + 2z)(k(a + b) + m) было квадратом. Что тогда мы хотим сделать с u?

Подсказка 10:

Конечно, мы хотим снова занулить константу, чтоб уменьшить "влияние". То есть теперь хотим брать такие z, что c − d = v(a − b) (очевидно, это возможно, осознайте самостоятельно). Теперь хотим, чтоб v(a − b)(k(a + b) + m) было квадратом, при этом знаем, что (a − b)(k(a + b) + m) = s². Чем тогда должно быть v?

Подсказка 11:

Разумеется, квадратом. То есть хотим сделать так, что для g ∈ ℕ: a − b + 2z = (a − b)g², то есть (a − b)(g² − 1) = 2z. Кажется, осталось совсем немного) Сделайте последний шаг и осознайте, что победа за Вами. Успехов!