Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела регион 9 класс
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#135013

Последовательность чисел a ,a ,
 1  2  …, a
 2022  такова, что

         3  3
an− ak ≥ n − k

для любых n  и k  таких, что 1 ≤n ≤2022  и 1≤ k≤ 2022  . При этом a1011 =0.  Какие значения может принимать a2022  ?

Источники: ВСОШ, РЭ, 2022, 9.6 и 11.6 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Дано только лишь неравенство, но при этом требуется вычислить значение одного из членов. Единственный способ найти его при таком раскладе — зажать между каким-то числом. То есть доказать, что, с одной стороны, оно не больше некоторого числа x, а с другой стороны, не меньше этого же числа x. Отсюда будет следовать, что оно равно x.

Подсказка 2:

По всей видимости, вместо одного из индексов нужно подставить 2022. Но что подставить вместо второго, чтобы реализовать первую подсказку? В условии дано значение 1011-го члена. Почему бы не подставить 1011 вместо второго индекса?

Подсказка 3:

Учтите, подставить эти индексы можно двумя разными способами.

Показать ответ и решение

Записывая условие при n =2022,  k= 1011  и при n =1011,  k= 2022,  получаем

                    3     3
a2022 = a2022− a1011 ≥2022 − 1011

и

−a   = a   − a   ≥ 10113− 20223,
  2022   1011   2022

то есть a2022 ≥ 20223 − 10113 ≥a2022.  Отсюда и следует ответ.

Ответ:

          3     3       3
a2022 =2022 − 1011 = 7⋅1011

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!